Definicja Dla funkcji f(x, y) nazywa się wyrażenie Dz = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y) pełny przyrost .
Jeżeli funkcja f(x,y) ma ciągłe pochodne cząstkowe, to
Następnie otrzymujemy stosując twierdzenie Lagrange'a
Ponieważ pochodne cząstkowe są ciągłe, to możemy zapisać równości:
Definicja. Wyrażenie nazywa się pełny przyrost funkcje f(x, y) w pewnym punkcie (x, y), gdzie a 1 i a 2 są nieskończenie małymi funkcjami odpowiednio Dх ® 0 i D ® 0.
Definicja: pełny mechanizm różnicowy funkcja z = f(x, y) nazywana jest główną liniową ze względu na przyrosty Dx i Dy funkcji Dz w punkcie (x, y).
Dla funkcji dowolnej liczby zmiennych:
Przykład. Znajdź pełną różniczkę funkcji. 
Przykład. Znajdź pełną różniczkę funkcji 
Geometryczne znaczenie różniczki całkowitej.
Płaszczyzna styczna i normalna do powierzchni.
normalna
płaszczyzna styczna
Niech N i N 0 będą punktami danej powierzchni. Narysujmy linię prostą NN 0 . Płaszczyzna przechodząca przez punkt N 0 nazywa się płaszczyzna styczna do powierzchni, jeżeli kąt między sieczną NN 0 a tą płaszczyzną dąży do zera, gdy odległość NN 0 dąży do zera.
Definicja. normalna do powierzchni w punkcie N 0 nazywa się linią prostą przechodzącą przez punkt N 0 prostopadłą do płaszczyzny stycznej do tej powierzchni.
W pewnym momencie powierzchnia ma albo tylko jedną płaszczyznę styczną, albo nie ma jej wcale.
Jeśli powierzchnia jest określona równaniem z \u003d f (x, y), gdzie f (x, y) jest funkcją różniczkowalną w punkcie M 0 (x 0, y 0), płaszczyzna styczna w punkcie N 0 (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) istnieje i ma równanie:
Równanie normalnej do powierzchni w tym punkcie jest następujące: 
zmysł geometryczny całkowitej różniczki funkcji dwóch zmiennych f (x, y) w punkcie (x 0, y 0) jest przyrostem aplikatu (współrzędnej z) płaszczyzny stycznej do powierzchni podczas przejścia od punktu (x 0, y 0) do punktu (x 0 + Dx, y 0 + Dy).
Jak widać, geometryczne znaczenie różniczki całkowitej funkcji dwóch zmiennych jest przestrzennym odpowiednikiem geometrycznego znaczenia różniczki funkcji jednej zmiennej.
Przykład Znajdź równania płaszczyzny stycznej i normalnej do powierzchni
W punkcie M(1, 1, 1).
Równanie płaszczyzny stycznej:
Równanie normalne: 
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
Niech będzie jakiś zbiór X w przestrzeni . Każdy punkt tego zbioru jest określony przez zbiór liczb , które są współrzędnymi danego punktu. Powiemy, że funkcja n-zmiennych jest dana na zbiorze X, jeśli każdy punkt 
zgodnie z pewnym prawem przypisywana jest pojedyncza liczba z, tj. 
.
Przykład: niech x 1, x 2, x 3 - długość, szerokość i głębokość basenu. Następnie znajdujemy powierzchnię basenu.
Funkcja n-zmiennych nazywamy ciągłą w punkcie 
, jeśli granica funkcji w tym punkcie jest równa wartości funkcji w punkcie granicznym, tj. 
.
Definicja: pochodna cząstkowa funkcji względem zmiennej nazywamy pochodną funkcji z względem zmiennej , obliczoną pod warunkiem, że wszystkie inne zmienne pozostają stałe.
Prywatna pochodna.
Przykład
Zatem dla funkcji dwóch zmiennych można wprowadzić cztery pochodne cząstkowe drugiego rzędu
1., czytaj: dwa z dwa razy.
Twierdzenie pochodne mieszane, gdy są ciągłe, nie zależą od kolejności obliczania pochodnych. Dotyczy to mieszanych pochodnych dowolnego rzędu i funkcji dowolnej liczby zmiennych.
Jeżeli funkcja f(x,y) jest zdefiniowana w jakiejś dziedzinie D, to jej pochodne cząstkowe i również będą zdefiniowane w tej samej dziedzinie lub jej części.
Będziemy nazywać te pochodne pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.
Pochodne tych funkcji będą pochodne cząstkowe drugiego rzędu.
Kontynuując różniczkowanie otrzymanych równości, otrzymujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
Definicja Pochodne cząstkowe formy 
itp. zwany pochodne mieszane.
Twierdzenie Jeżeli funkcja f(x, y) i jej pochodne cząstkowe są określone i ciągłe w punkcie M(x, y) i jego sąsiedztwie, to zależność jest prawdziwa: .
wtedy nazywamy punkt M 0 minimalny punkt.
Twierdzenie (warunki konieczne dla ekstremum) Jeżeli funkcja f (x, y) w punkcie (x 0, y 0) ma ekstremum, to w tym punkcie albo obie jej pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zero, albo przynajmniej jedna z nich nie istnieje.
Ten punkt (x 0, y 0) zostanie nazwany punkt krytyczny.
Twierdzenie (warunki wystarczające dla ekstremum) Niech w pobliżu punktu krytycznego (x 0, y 0) funkcja f(x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe aż do drugiego rzędu włącznie. Rozważ wyrażenie:
1) Jeżeli D(x 0 , y 0) > 0, to w punkcie (x 0 , y 0) funkcja f(x, y) ma ekstremum, jeśli
2) - 0, to w punkcie (x 0, y 0) funkcja f (x, y) nie ma ekstremum
Jeśli D = 0, nie można wyciągnąć wniosku o obecności ekstremum.
Płaszczyzna styczna i normalna do powierzchni.
płaszczyzna styczna
Niech N i N 0 będą punktami danej powierzchni. Narysujmy linię prostą NN 0 . Płaszczyzna przechodząca przez punkt N 0 nazywa się płaszczyzna styczna do powierzchni, jeżeli kąt między sieczną NN 0 a tą płaszczyzną dąży do zera, gdy odległość NN 0 dąży do zera.
Definicja. normalna do powierzchni w punkcie N 0 nazywa się linią prostą przechodzącą przez punkt N 0 prostopadłą do płaszczyzny stycznej do tej powierzchni.
W pewnym momencie powierzchnia ma albo tylko jedną płaszczyznę styczną, albo nie ma jej wcale.
Jeśli powierzchnia jest określona równaniem z \u003d f (x, y), gdzie f (x, y) jest funkcją różniczkowalną w punkcie M 0 (x 0, y 0), płaszczyzna styczna w punkcie N 0 (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) istnieje i ma równanie:
Równanie normalnej do powierzchni w tym punkcie jest następujące:
zmysł geometryczny pełnej różniczki funkcji dwóch zmiennych f (x, y) w punkcie (x 0, y 0) jest przyrostem aplikatu (współrzędnej z) płaszczyzny stycznej do powierzchni podczas przejścia od punktu (x 0, y 0) do punktu (x 0 +x , y 0 +y).
Jak widać, geometryczne znaczenie różniczki całkowitej funkcji dwóch zmiennych jest przestrzennym odpowiednikiem geometrycznego znaczenia różniczki funkcji jednej zmiennej.
Przykład. Znajdź równania płaszczyzny stycznej i normalnej do powierzchni
w punkcie M(1, 1, 1).
Równanie płaszczyzny stycznej:
Równanie normalne:
20.4. Przybliżone obliczenia z wykorzystaniem całkowitej różnicy.
Niech funkcja f(x,y) będzie różniczkowalna w punkcie (x,y). Znajdźmy całkowity przyrost tej funkcji:
Jeśli podstawimy do tego wzoru wyrażenie
wtedy otrzymujemy przybliżony wzór:
Przykład. Oblicz w przybliżeniu wartość , na podstawie wartości funkcji dla x = 1, y = 2, z = 1.
Z podanego wyrażenia wyznaczamy x = 1,04 - 1 = 0,04, y = 1,99 - 2 = -0,01,
z \u003d 1,02 - 1 \u003d 0,02.
Znajdź wartość funkcji u(x, y, z) =
Znajdujemy pochodne cząstkowe:
Całkowita różniczka funkcji u wynosi:
Dokładna wartość tego wyrażenia to 1,049275225687319176.
20,5. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
Jeżeli funkcja f(x,y) jest zdefiniowana w jakiejś dziedzinie D, to jej pochodne cząstkowe będą również zdefiniowane w tej samej dziedzinie lub jej części.
Będziemy nazywać te pochodne pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.
Pochodne tych funkcji będą pochodne cząstkowe drugiego rzędu.
Kontynuując różniczkowanie otrzymanych równości, otrzymujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
Definicja.
Pochodne cząstkowe formy 
itp. zwany pochodne mieszane.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f(x, y) i jej pochodne cząstkowe są określone i ciągłe w punkcie M(x, y) i jego sąsiedztwie, to zależność jest prawdziwa:
Te. pochodne cząstkowe wyższych rzędów nie zależą od rzędu różniczkowania.
Różnice wyższego rzędu są definiowane podobnie.
…………………
Tutaj n jest symboliczną potęgą pochodnej, która jest zastępowana potęgą rzeczywistą po podniesieniu do niej wyrażenia w nawiasach.
Geometryczne znaczenie całkowitej różniczki funkcji dwóch zmiennych f (x, y) w punkcie (x 0, y 0) to przyrost aplikatu (współrzędnej z) płaszczyzny stycznej do powierzchni podczas przejścia od punktu (x 0, y 0) do punktu (x 0 + Dx, y 0 + Dy).
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. : Jeżeli funkcja f(x,y) jest zdefiniowana w jakiejś dziedzinie D, to jej pochodne cząstkowe i również będą zdefiniowane w tej samej dziedzinie lub jej części. Pochodne te będziemy nazywać pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu.
Pochodne tych funkcji będą pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu.
Kontynuując różniczkowanie otrzymanych równości, otrzymujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Definicja. Pochodne cząstkowe formy 
itp. nazywane są pochodnymi mieszanymi. Twierdzenie Schwartza:
Jeżeli pochodne cząstkowe wyższych rzędów f.m.s. są ciągłymi, a następnie mieszanymi pochodnymi tego samego rzędu, różniącymi się jedynie rzędem różniczkowania = między sobą.
Tutaj n jest symboliczną potęgą pochodnej, która jest zastępowana potęgą rzeczywistą po podniesieniu do niej wyrażenia w nawiasach.
14. Równanie płaszczyzny stycznej i normalnej do powierzchni!
Niech N i N 0 będą punktami danej powierzchni. Narysujmy linię prostą NN 0 . Płaszczyzna przechodząca przez punkt N 0 nazywa się płaszczyzna styczna do powierzchni, jeżeli kąt między sieczną NN 0 a tą płaszczyzną dąży do zera, gdy odległość NN 0 dąży do zera.
Definicja. normalna do powierzchni w punkcie N 0 nazywa się linią prostą przechodzącą przez punkt N 0 prostopadłą do płaszczyzny stycznej do tej powierzchni.
W pewnym momencie powierzchnia ma albo tylko jedną płaszczyznę styczną, albo nie ma jej wcale.
Jeśli powierzchnia jest określona równaniem z \u003d f (x, y), gdzie f (x, y) jest funkcją różniczkowalną w punkcie M 0 (x 0, y 0), płaszczyzna styczna w punkcie N 0 (x 0, y 0, (x 0, y 0)) istnieje i ma równanie:
Równanie normalnej do powierzchni w tym punkcie:
zmysł geometryczny całkowitej różniczki funkcji dwóch zmiennych f (x, y) w punkcie (x 0, y 0) jest przyrostem aplikatu (współrzędnej z) płaszczyzny stycznej do powierzchni podczas przejścia od punktu (x 0, y 0) do punktu (x 0 + Dx, y 0 + Dy).
Jak widać, geometryczne znaczenie różniczki całkowitej funkcji dwóch zmiennych jest przestrzennym odpowiednikiem geometrycznego znaczenia różniczki funkcji jednej zmiennej.
16. Pole skalarne i jego charakterystyki Linie poziomów, pochodne kierunkowe, gradient pola skalarnego.
Jeśli każdemu punktowi w przestrzeni zostanie przypisana wielkość skalarna, wówczas powstaje pole skalarne (na przykład pole temperatury, pole potencjału elektrycznego). Jeśli wprowadzono współrzędne kartezjańskie, oznacza się również lub 
Pole może być płaskie, jeśli jest centralne 
(kulisty), jeśli 
cylindryczny, jeśli 
Powierzchnie i linie poziomu: Właściwości pól skalarnych można wizualizować za pomocą powierzchni poziomu. Są to powierzchnie w przestrzeni, na których przyjmuje stałą wartość. Ich równanie to: 
. W płaskim polu skalarnym linie poziomu są krzywymi, na których pole przyjmuje stałą wartość: 
W niektórych przypadkach linie poziomu mogą przekształcić się w punkty, a powierzchnie poziomu w punkty i krzywe.
Pochodna kierunkowa i gradient pola skalarnego:
Niech wektor jednostkowy ze współrzędnymi będzie polem skalarnym. Pochodna kierunkowa charakteryzuje zmianę pola w danym kierunku i jest obliczana według wzoru Pochodna kierunkowa jest iloczynem skalarnym wektora i wektora o współrzędnych 
, który nazywa się gradientem funkcji i jest oznaczony przez 
, gdzie kąt pomiędzy a , to wektor wskazuje kierunek najszybszego wzrostu pola, a jego moduł jest równy pochodnej w tym kierunku. Ponieważ składniki gradientu są pochodnymi cząstkowymi, łatwo jest uzyskać następujące właściwości gradientu:
17. Ekstrema FMP Ekstrema lokalne funkcji fmp, warunki konieczne i wystarczające jej istnienia. Największy i najmniejszy f.m.s. w ograniczonej teren zamknięty.
Niech funkcja z = ƒ(x;y) będzie zdefiniowana w pewnej dziedzinie D, punkcie N(x0;y0)
Punkt (x0; y0) nazywamy punktem maksymalnym funkcji z=ƒ(x; y), jeżeli istnieje takie d-sąsiedztwo punktu (x0; y0), że dla każdego punktu (x; y) innego niż (xo; yo), to sąsiedztwo spełnia nierówność ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;y0). Wartość funkcji w punkcie maksimum (minimum) nazywana jest maksimum (minimum) funkcji. Maksimum i minimum funkcji nazywane są jej ekstremami. Zauważ, że zgodnie z definicją punkt ekstremalny funkcji leży wewnątrz dziedziny funkcji; maksimum i minimum mają charakter lokalny (lokalny): wartość funkcji w punkcie (x0; y0) jest porównywana z jej wartościami w punktach wystarczająco bliskich (x0; y0). W regionie D funkcja może mieć kilka ekstremów lub nie mieć ich wcale.
Niezbędne(1) i wystarczające(2) warunki istnienia:
(1) Jeśli w punkcie N (x0; y0) funkcja różniczkowalna z \u003d ƒ (x; y) ma ekstremum, to jej pochodne cząstkowe w tym punkcie są równe zeru: ƒ "x (x0; y0) \u003d 0, ƒ" y (x0; y0 )=0. Komentarz. Funkcja może mieć ekstremum w punktach, w których nie istnieje co najmniej jedna z pochodnych cząstkowych. Punkt, w którym pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji z ≈ ƒ(x; y) są równe zeru, tj. f "x=0, f" y=0, nazywany jest punktem stacjonarnym funkcji z.
Punkty stacjonarne i punkty, w których nie istnieje co najmniej jedna pochodna cząstkowa, nazywane są punktami krytycznymi.
(2)
Niech funkcja ƒ(x; y) ma ciągłe pochodne cząstkowe aż do drugiego rzędu włącznie w punkcie stacjonarnym (xo; yo) i jakimś jego sąsiedztwie. Obliczmy w punkcie (x0;y0) wartości A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Oznaczać 
Następnie:
1. jeśli Δ > 0, to funkcja ƒ(x; y) w punkcie (x0; y0) ma ekstremum: maksimum, jeśli A< 0; минимум, если А > 0;
2. jeśli Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.
3. W przypadku, gdy Δ = 0, w punkcie (x0; y0) może istnieć ekstremum lub nie. Potrzebne są dalsze badania.
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI KILKU ZMIENNYCH.
Podstawowe pojęcia i definicje.
Rozważając funkcje kilku zmiennych ograniczamy się bowiem do szczegółowego opisu funkcji dwóch zmiennych wszystkie otrzymane wyniki będą ważne dla funkcji dowolnej liczby zmiennych.
Jeśli każdej parze wzajemnie niezależnych liczb (x, y) z pewnego zestawu, zgodnie z jakąś regułą, przypisywana jest jedna lub więcej wartości zmiennej z, wówczas nazywa się zmienną z funkcja dwóch zmiennych.
Jeśli parze liczb (x, y) odpowiada jedna wartość z, to funkcja jest wywoływana niedwuznaczny, a jeśli więcej niż jeden, to - dwuznaczny.
Zakres definicji funkcja z jest zbiorem par (x, y), dla których istnieje funkcja z.
Punkt sąsiedztwa M 0 (x 0, y 0) promienia r jest zbiorem wszystkich punktów (x, y) spełniających warunek.
Numer A jest wywoływany limit funkcja f(x, y) gdyż punkt M(x, y) dąży do punktu M 0 (x 0, y 0), jeśli dla każdej liczby e > 0 istnieje taka liczba r > 0, że dla dowolnego punktu M (x, y) dla którego warunek
warunek jest również prawdziwy 
.
Zanotować: 
Niech punkt M 0 (x 0, y 0) należy do dziedziny funkcji f(x, y). Następnie wywoływana jest funkcja z = f(x, y). ciągły w punkcie M 0 (x 0, y 0), jeśli
(1)
ponadto punkt M(x, y) dąży do punktu M 0 (x 0, y 0) w dowolny sposób.
Jeśli warunek (1) nie jest spełniony w żadnym punkcie, to ten punkt jest wywoływany moment przełomowy funkcje f(x, y). Może to mieć miejsce w następujących przypadkach:
1) Funkcja z \u003d f (x, y) nie jest zdefiniowana w punkcie M 0 (x 0, y 0).
2) Nie ma limitu.
3) Ta granica istnieje, ale nie jest równa f(x 0 , y 0).
Własności funkcji wielu zmiennych związane z ich ciągłością.
Nieruchomość. Jeżeli funkcja f(x, y, …) jest zdefiniowana i ciągła w domkniętej i ograniczonej dziedzinie D, to istnieje co najmniej jeden punkt w tej dziedzinie
N(x 0 , y 0 , …) takie, że nierówność
fa(x 0 , y 0 , …) ³ fa (x, y, …)
a także punkt N 1 (x 01 , y 01 , ...), taki, że dla wszystkich innych punktów nierówność jest prawdziwa
f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)
wtedy f(x 0 , y 0 , …) = M – najwyższa wartość funkcje i f(x 01 , y 01 , ...) = m - najmniejsza wartość funkcje f(x, y, …) w dziedzinie D.
Funkcja ciągła w domkniętej i ograniczonej dziedzinie D osiąga co najmniej raz swoją wartość maksymalną i raz wartość minimalną.
Nieruchomość. Jeśli funkcja f(x, y, …) jest zdefiniowana i ciągła w dziedzinie o domkniętych granicach D, a M i m są odpowiednio największą i najmniejszą wartością funkcji w tej dziedzinie, to dla dowolnego punktu m О istnieje jest punktem
N 0 (x 0 , y 0 , …) takie, że f(x 0 , y 0 , …) = m.
Mówiąc najprościej, funkcja ciągła przyjmuje w dziedzinie D wszystkie wartości pośrednie między M i m. Konsekwencją tej własności może być wniosek, że jeśli liczby M i m mają różne znaki, to w dziedzinie D funkcja co najmniej raz zniknie.
Nieruchomość. Funkcja f(x, y, …), ciągła w domkniętej dziedzinie D, ograniczony w tym obszarze, jeśli istnieje taka liczba K, że dla wszystkich punktów obszaru nierówność jest prawdziwa 
.
Nieruchomość. Jeśli funkcja f(x, y, …) jest zdefiniowana i ciągła w dziedzinie D o domkniętych granicach, to ona równomiernie ciągły w tym zakresie, tj. dla dowolnej liczby dodatniej e istnieje taka liczba D > 0, że dla dowolnych dwóch punktów (x 1 , y 1) i (x 2 , y 2) obszaru położonego w odległości mniejszej niż D nierówność
2. Pochodne cząstkowe. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
Niech funkcja z = f(x, y) będzie dana w jakiejś dziedzinie. Weź dowolny punkt M(x, y) i ustaw przyrost Dx na zmienną x. Wtedy nazywamy wielkość D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y). częściowy przyrost funkcji w x.
Można napisać
.
Potem zadzwonił pochodna cząstkowa funkcje z = f(x, y) w x.
Przeznaczenie: 
Podobnie definiuje się pochodną cząstkową funkcji względem y.
zmysł geometryczny pochodna częściowa (powiedzmy) jest styczną nachylenia stycznej narysowanej w punkcie N 0 (x 0, y 0, z 0) do przekroju powierzchni przez płaszczyznę y \u003d y 0.
Jeżeli funkcja f(x,y) jest zdefiniowana w jakiejś dziedzinie D, to jej pochodne cząstkowe i również będą zdefiniowane w tej samej dziedzinie lub jej części.
Będziemy nazywać te pochodne pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.
Pochodne tych funkcji będą pochodne cząstkowe drugiego rzędu.
Kontynuując różniczkowanie otrzymanych równości, otrzymujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
Pochodne cząstkowe formy 
itp. zwany pochodne mieszane.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f(x, y) i jej pochodne cząstkowe są określone i ciągłe w punkcie M(x, y) i jego sąsiedztwie, to zależność jest prawdziwa:
Te. pochodne cząstkowe wyższych rzędów nie zależą od rzędu różniczkowania.
Różnice wyższego rzędu są definiowane podobnie.
…………………
Tutaj n jest symboliczną potęgą pochodnej, która jest zastępowana potęgą rzeczywistą po podniesieniu do niej wyrażenia w nawiasach.
pełny mechanizm różnicowy. Geometryczne znaczenie różniczki całkowitej. Płaszczyzna styczna i normalna do powierzchni.
Wyrażenie nazywa się pełny przyrost funkcje f(x, y) w pewnym punkcie (x, y), gdzie a 1 i a 2 są nieskończenie małymi funkcjami odpowiednio Dх ® 0 i D ® 0.
pełny mechanizm różnicowy funkcja z = f(x, y) jest główną częścią liniową względem Dx i Dy przyrostu funkcji Dz w punkcie (x, y).
Dla funkcji dowolnej liczby zmiennych:
Przykład 3.1. Znajdź pełną różniczkę funkcji.
$E \podzbiór \mathbb(R)^(n)$. Mówi się, że $f$ ma maksimum lokalne w punkcie $x_(0) \in E$ jeśli istnieje takie sąsiedztwo $U$ punktu $x_(0)$, że dla wszystkich $x \in U$ nierówność $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.
Lokalne maksimum jest nazywane ścisły , jeśli otoczenie $U$ można wybrać w taki sposób, że dla wszystkich $x \in U$ różnych od $x_(0)$ istnieje $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.
Definicja
Niech $f$ będzie funkcją rzeczywistą na zbiorze otwartym $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Mówi się, że $f$ ma lokalne minimum w punkcie $x_(0) \in E$ jeśli istnieje takie sąsiedztwo $U$ punktu $x_(0)$, że dla wszystkich $x \in U$ nierówność $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.
Mówimy, że minimum lokalne jest ścisłe, jeśli można wybrać sąsiedztwo $U$ w taki sposób, że dla wszystkich $x \in U$ różnych od $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\po prawej)$.
Ekstremum lokalne łączy w sobie pojęcia lokalnego minimum i lokalnego maksimum.
Twierdzenie (warunek konieczny dla ekstremum funkcji różniczkowalnej)
Niech $f$ będzie funkcją rzeczywistą na zbiorze otwartym $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Jeśli w punkcie $x_(0) \in E$ funkcja $f$ ma również w tym punkcie ekstremum lokalne, to $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Różnica równości do zera jest równoważna z faktem, że wszystkie są równe zeru, tj. $$\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$
W przypadku jednowymiarowym jest to . Oznaczmy $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, gdzie $h$ jest dowolnym wektorem. Funkcja $\phi$ jest zdefiniowana dla odpowiednio małych wartości modulo $t$. Co więcej, względem , jest różniczkowalna, a $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Niech $f$ ma lokalne maksimum w x $0$. Stąd funkcja $\phi$ w $t = 0$ ma lokalne maksimum i, zgodnie z twierdzeniem Fermata, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Mamy więc $df \left(x_(0)\right) = 0$, tj. funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ jest równa zero na dowolnym wektorze $h$.
Definicja
Punkty, w których różniczka jest równa zeru, tj. te, w których wszystkie pochodne cząstkowe są równe zero, nazywane są stacjonarnymi. punkt krytyczny funkcje $f$ to te punkty, w których $f$ nie jest różniczkowalna lub jest równa zeru. Jeśli punkt jest nieruchomy, to jeszcze nie wynika z tego, że funkcja ma w tym punkcie ekstremum.
Przykład 1
Niech $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Następnie $\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe y) = 3 \cdot y^(2 )$, więc $\left(0,0\right)$ jest punktem stacjonarnym, ale funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum. Rzeczywiście, $f \left(0,0\right) = 0$, ale łatwo zauważyć, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $\left(0,0\right)$ funkcja przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne.
Przykład 2
Funkcja $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ma początek współrzędnych jako punkt stacjonarny, ale jasne jest, że w tym punkcie nie ma ekstremum.
Twierdzenie (warunek wystarczający dla ekstremum).
Niech funkcja $f$ będzie dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły na zbiorze otwartym $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Niech $x_(0) \in E$ będzie punktem stacjonarnym i $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x_(i) \częściowe x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Wtedy
- jeśli $Q_(x_(0))$ jest , to funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ ma ekstremum lokalne, czyli minimum, jeśli postać jest dodatnio określona, i maksimum, jeśli postać jest ujemnie określony;
- jeśli postać kwadratowa $Q_(x_(0))$ jest nieoznaczona, to funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ nie ma ekstremum.
Skorzystajmy z rozwinięcia według wzoru Taylora (12.7 s. 292) . Biorąc pod uwagę, że pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie $x_(0)$ są równe zeru, otrzymujemy $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0 )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x_(i) \ częściowe x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ gdzie $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ i $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ dla $h \rightarrow 0$, to prawa strona jest dodatnia dla dowolnego wektora $h$ o wystarczająco małej długości.
Doszliśmy więc do wniosku, że w pewnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ nierówność $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ jest spełniona, jeśli tylko $ x \neq x_ (0)$ (wstawiamy $x=x_(0)+h$\po prawej). Oznacza to, że w punkcie $x_(0)$ funkcja ma ścisłe minimum lokalne, a więc pierwsza część naszego twierdzenia jest udowodniona.
Załóżmy teraz, że $Q_(x_(0))$ jest formą nieokreśloną. Następnie istnieją wektory $h_(1)$, $h_(2)$ takie, że $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Następnie otrzymujemy $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Dla odpowiednio małego $t>0$ prawa strona to pozytywny. Oznacza to, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości $f \left(x\right)$ większe niż $f \left(x_(0)\right)$.
Podobnie otrzymujemy, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości mniejsze od $f \left(x_(0)\right)$. To, razem z poprzednim, oznacza, że funkcja $f$ nie ma ekstremum w punkcie $x_(0)$.
Rozważmy szczególny przypadek tego twierdzenia dla funkcji $f \left(x,y\right)$ dwóch zmiennych zdefiniowanych w pewnym sąsiedztwie punktu $\left(x_(0),y_(0)\right) $ i mające ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. Załóżmy, że $\left(x_(0),y_(0)\right)$ jest punktem stacjonarnym i oznaczmy $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\częściowy^(2) f)(\częściowy x \częściowy y) \left(x_( 0 ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\częściowy^(2) f)(\częściowy y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Zatem poprzednie twierdzenie przyjmuje następującą postać.
Twierdzenie
Niech $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Następnie:
- jeśli $\Delta>0$, to funkcja $f$ ma ekstremum lokalne w punkcie $\left(x_(0),y_(0)\right)$, czyli minimum, jeśli $a_(11)> 0$ i maksimum, jeśli $a_(11)<0$;
- jeśli $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
Przykłady rozwiązywania problemów
Algorytm znajdowania ekstremum funkcji wielu zmiennych:
- Znajdujemy punkty stacjonarne;
- Znajdujemy różnicę drugiego rzędu we wszystkich punktach stacjonarnych
- Wykorzystując warunek wystarczający dla ekstremum funkcji kilku zmiennych, rozważamy różniczkę drugiego rzędu w każdym punkcie stacjonarnym
- Zbadaj funkcję do ekstremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
RozwiązanieZnajdź pochodne cząstkowe pierwszego rzędu: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Skomponuj i rozwiąż układ: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\częściowe f)(\częściowe y)= 0\end(przypadki) \Strzałka w prawo \begin(przypadki)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Z drugiego równania wyrażamy $x=4 \cdot y^(2)$ — podstawiamy do pierwszego równania: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ prawo )^(2)-2 \cdot y=0$$ $16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ W rezultacie otrzymujemy 2 punkty stacjonarne:
1) $y=0 \strzałka w prawo x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\Displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Strzałka w prawo y^(3)=\frac(1)(8) \Strzałka w prawo y = \frac(1)(2) \Strzałka w prawo x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
Sprawdźmy, czy spełniony jest warunek ekstremum dostatecznego:
$$\displaystyle \frac(\częściowa^(2) f)(\częściowa x^(2))=6 \cdot x; \frac(\częściowy^(2) f)(\częściowy x \częściowy y)=-6; \frac(\częściowy^(2) f)(\częściowy y^(2))=48 \cdot y$$
1) Dla punktu $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\częściowa^(2) f)(\częściowa x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\częściowy^(2) f)(\częściowy x \częściowy y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\częściowa^(2) f)(\częściowa y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Dla punktu $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\częściowa^(2) f)(\częściowa x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\częściowy^(2) f)(\częściowy x \częściowy y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\częściowa^(2) f)(\częściowa y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, więc istnieje ekstremum w $M_(2)$, a ponieważ $A_(2)>0$, to jest minimum.
Odpowiedź: Punkt $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ jest punktem minimalnym funkcji $f$. - Zbadaj funkcję dla ekstremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
RozwiązanieZnajdź punkty stacjonarne: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Skomponuj i rozwiąż układ: $$\displaystyle \begin(przypadki)\frac(\częściowe f)(\częściowe x)= 0\\\frac(\częściowe f)(\częściowe y)= 0\end(przypadki) \ Strzałka w prawo \begin(przypadki)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(przypadki) \Strzałka w prawo \begin(przypadki) y = 2\\y + x = 1\end(przypadki) \strzałka w prawo x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ jest punktem stacjonarnym.
Sprawdźmy, czy spełniony jest warunek ekstremum dostatecznego: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\częściowy^(2) f)(\częściowy x \częściowy y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\częściowy^(2) f)(\częściowy y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Odpowiedź: nie ma ekstremów.
Limit czasu: 0
Nawigacja (tylko numery zadań)
Ukończono 0 z 4 zadań
Informacja
Rozwiąż ten quiz, aby sprawdzić swoją wiedzę na temat, który właśnie przeczytałeś, Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych.
Test już wykonałeś. Nie możesz uruchomić go ponownie.
Trwa ładowanie testu...
Aby rozpocząć test, musisz się zalogować lub zarejestrować.
Aby rozpocząć ten, musisz ukończyć następujące testy:
wyniki
Prawidłowe odpowiedzi: 0 na 4
Twój czas:
Czas się skończył
Zdobyłeś 0 z 0 punktów (0 )
Twój wynik został zapisany na tablicy wyników
- Z odpowiedzią
- Wyrejestrowany
Zadanie 2 z 4
2 .
Liczba punktów: 1Czy funkcja $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$
Prawidłowy
Zadanie 1 z 4
1 .
Liczba punktów: 1Zbadaj ekstrema funkcji $f$: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
Prawidłowy
Zło