Linearyzacja funkcji. Płaszczyzna styczna i normalna do powierzchni.

Pochodne i różniczki wyższych rzędów.

1. Pochodne cząstkowe FNP *)

Rozważ funkcję I = F(P), RÎDÌR N lub, co jest tym samym,

I = F(X 1 , X 2 , ..., x rz).

Naprawiamy wartości zmiennych X 2 , ..., x rz i zmienną X 1 zwiększmy D X 1. Następnie funkcja I otrzyma przyrost określony przez równość

= F (X 1+D X 1 , X 2 , ..., x rz) – F(X 1 , X 2 , ..., x rz).

Ten przyrost nazywa się przyrost prywatny Funkcje I według zmiennej X 1 .

Definicja 7.1. Pochodna cząstkowa funkcji I = F(X 1 , X 2 , ..., x rz) według zmiennej X 1 jest granicą stosunku częściowego przyrostu funkcji do przyrostu argumentu D X 1 w D X 1 ® 0 (jeśli ta granica istnieje).

Pochodna cząstkowa względem X 1 znaków

Więc z definicji

Podobnie definiuje się pochodne cząstkowe względem pozostałych zmiennych. X 2 , ..., x rz. Z definicji widać, że jest to pochodna cząstkowa funkcji względem zmiennej x ja jest zwykłą pochodną funkcji jednej zmiennej x ja gdy pozostałe zmienne są uważane za stałe. Dlatego wszystkie wcześniej zbadane reguły i wzory różniczkowania można wykorzystać do znalezienia pochodnej funkcji kilku zmiennych.

Na przykład dla funkcji u = X 3 + 3xy – z 2 mamy

Jeśli więc wprost podana jest funkcja kilku zmiennych, to pytania o istnienie i znajdowanie jej pochodnych cząstkowych sprowadzają się do odpowiednich pytań o funkcję jednej zmiennej - tej, za pomocą której należy wyznaczyć pochodną.

Rozważ niejawnie zdefiniowaną funkcję. Niech równanie F( X, y) = 0 definiuje ukrytą funkcję jednej zmiennej X. sprawiedliwy

Twierdzenie 7.1.

Niech F( X 0 , y 0) = 0 i funkcje F( X, y), F¢ X(X, y), F¢ Na(X, y) są ciągłe w pewnym sąsiedztwie punktu ( X 0 , Na 0) i F¢ Na(X 0 , y 0) ¹ 0. Wtedy funkcja Na, dana pośrednio równaniem F ( X, y) = 0, ma w punkcie ( X 0 , y 0) pochodna, która jest równa

.

Jeżeli warunki twierdzenia są spełnione w dowolnym punkcie dziedziny DÌ R 2 , to w każdym punkcie tej dziedziny .

Na przykład dla funkcji X 3 –2Na 4 + Wow+ 1 = 0 znajdź

Niech teraz równanie F( X, y, z) = 0 definiuje ukrytą funkcję dwóch zmiennych. Znajdźmy i . Ponieważ obliczenie pochodnej względem X produkowane przy stałej (stałej) Na, to w tych warunkach równość F( X, y= stała, z) = 0 definiuje z jako funkcja jednej zmiennej X i zgodnie z Twierdzeniem 7.1 otrzymujemy

.

podobnie .

Zatem dla funkcji dwóch zmiennych danych pośrednio przez równanie , pochodne cząstkowe znajdują się według wzorów: ,

transkrypcja

1 WYKŁAD N Różniczka całkowita, pochodne cząstkowe i różniczki wyższych rzędów Różniczka całkowita Pochodne cząstkowe Pochodne cząstkowe różniczek wyższych rzędów Różniczki wyższego rzędu 4 Pochodne funkcji zespolonych 4 Różniczka całkowita Pochodne cząstkowe Jeżeli funkcja z=f(,) jest różniczkowalna, to jej suma różniczka dz jest równa dz= a +B () z z Zauważając, że A=, B = zapisujemy wzór () w następującej postaci z z dz= + () Rozszerzamy pojęcie funkcji różniczkowej na zmienne niezależne, ustalając różniczki zmiennych niezależnych równe ich przyrostom: d= ; d= Następnie wzór na różniczkę całkowitą funkcji przyjmie postać z z dz= d + d () d + d n zmiennych, wtedy du= d (d =) = Wyrażenie d z=f (,)d (4) nazywa się różniczką cząstkową funkcji z=f(,) względem zmiennej; wyrażenie d z=f (,)d (5) nazywamy różniczką cząstkową funkcji z=f(,) ze względu na zmienną Z wzorów (), (4) i (5) wynika, że ​​różniczka całkowita funkcja jest sumą jej różniczek cząstkowych: dz=d z+d z przyrost z= z z + + α (,) + β (,) różni się od jej części liniowej dz= z z + tylko o sumę ostatnich wyrazów α + β, które w 0 i 0 są nieskończenie wyższym rzędem niż wyrazy części liniowej Dlatego gdy dz 0, liniową część przyrostu funkcji różniczkowalnej nazywamy główną częścią przyrostu funkcji i przybliżoną formułą z Stosowane jest dz, które będzie tym dokładniejsze, im mniejsza jest wartość bezwzględna przyrostów argumentów,97 Przykład Oblicz w przybliżeniu arctan(),0

2 Rozwiązanie Rozważmy funkcję f(,)=arctg() Korzystając ze wzoru f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz, otrzymujemy arctg(+) arctg() + [ arctg() ] + [ arctg()] lub + + arctg() arctg() () + () Niech =, =, następnie =-0,0, =0,0 Zatem (0,0 0,0 arctg) arctg( ) + (0,0) 0,0 = arctan 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Można wykazać, że błąd wynikający z zastosowania przybliżonego wzoru z dz nie przekracza liczby = M (+), gdzie M jest największa wartość bezwzględnych wartości drugich pochodnych cząstkowych f(,), f(,), f(,) gdy argumenty zmieniają się z na + iz na + Pochodne cząstkowe wyższych rzędów Jeżeli funkcja u =f (, z) ma pochodną cząstkową względem jednej ze zmiennych w jakiejś (otwartej) dziedzinie D, to znaleziona pochodna, będąc sama funkcją od, z, może z kolei mieć pochodne cząstkowe w pewnym punkcie (0, 0, z 0) w odniesieniu do tej samej lub w odniesieniu do dowolnej innej zmiennej.Dla pierwotnej funkcji u=f(,z), pochodne te będą pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu.Jeśli pierwsza pochodna została wzięta, na przykład, względem, to jego pochodna względem, z jest oznaczana następująco: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; =; = lub u, u, u z z z Pochodne rzędu trzeciego, czwartego itd. są wyznaczane w podobny sposób.Zauważ, że pochodna cząstkowa wyższego rzędu wzięta w odniesieniu do różnych zmiennych, na przykład ; nazywana mieszaną pochodną cząstkową Przykład u= 4 z, wtedy u = 4 z ; u = 4z; u z = 4 z; u = z u=64z; uzz = 4; u = z u = z u z = 4 z; u z = 8 z; u z = 6 4 z; u z =6 4 z funkcja f(,) jest zdefiniowana w (otwartej) dziedzinie D,) w tej dziedzinie są pierwsze pochodne f i f oraz drugie pochodne mieszane f i f, i wreszcie,) te ostatnie pochodne f i f, jako funkcje u, są ciągłe w pewnym punkcie (0, 0) obszaru D Wtedy w tym punkcie f (0, 0)=f (0, 0) Dowód Rozważ wyrażenie

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, gdzie, są niezerowe, np. dodatnie, a ponadto są tak małe, że D zawiera cały prostokąt [ 0, 0 +; 0, 0 +] 0 +) (, 0) ()= i dlatego jest ciągły Z tą funkcją f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f (0, 0) wyrażenie W, które jest równe W= można zapisać w postaci: ϕ (0 +) ϕ (0) W= więc: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 + θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Widzimy, że du jest również funkcją, Jeśli założymy istnienie ciągłych pochodnych cząstkowych drugiego rzędu dla u, to du będzie miało ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu i możemy mówić o całkowitej różniczce tej różniczki du , d(du), które jest nazywane różniczką drugiego rzędu (lub drugą różniczką) u; jest oznaczony przez d u Podkreślamy, że przyrosty d, d, d są uważane za stałe i pozostają takie same podczas przechodzenia z jednej różniczki do drugiej (co więcej, d, d będzie równe zeru) Zatem d u=d(du)=d (d + re + + re) = d() re + d() re + + re() re lub re u = (d + re + re + + re) re + + (d + re + = re + re + + d + dd + dd + + dd + + Podobnie zdefiniowana jest różniczka trzeciego rzędu d u itd. Jeśli funkcja u ma ciągłe pochodne cząstkowe wszystkich rzędów do n-tego włącznie, to istnienie n-ta różniczka jest gwarantowana, ale wyrażenia dla nich stają się coraz bardziej złożone Możemy uprościć notację Usuńmy „literę u” z wyrażenia pierwszej różniczki Wtedy zapis będzie symboliczny: du=(d + d + + d) u ; d u=(d + d + + d) u ; d n n u=(d + d + + d) u, co należy rozumieć następująco: po pierwsze, „wielomian” w nawiasie jest formalnie podniesiony do potęgi zgodnie z zasadami algebry, wtedy wszystkie otrzymane wyrazy są „mnożone” przez u (które jest dodawane do n w licznikach at), a dopiero potem wszystkie symbole zwracają swoją wartość jako pochodne i różniczki u d) d u pewien przedział: = ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Niech dodatkowo przy zmianie t punkty (, z) nie wychodzą poza obszar D Podstawiając wartości, oraz z do funkcji u, otrzymujemy funkcję zespoloną: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) Załóżmy, że u ma by i z ciągłe pochodne cząstkowe u, u i u z oraz że t, t i z t istnieją Wtedy możemy udowodnić istnienie pochodnej funkcji zespolonej i obliczyć ją.Nadajemy zmiennej t pewien przyrost t, a następnie odpowiednio z będzie zwiększać się, a z funkcja u będzie zwiększać się u. Przedstawmy przyrost funkcja u w postaci: pochodne u, u i u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, gdzie α, β, χ 0 at, z 0 α + β + χ t t t t t t t 4

5 Pozwólmy teraz przyrostowi t dążyć do zera: wtedy z będzie dążyć do zera, ponieważ funkcje z od t są ciągłe (założyliśmy istnienie pochodnych t, ​​t, z t), a zatem α, β, χ również dążą do zera W granicy otrzymujemy u t =u t +u t +u z z t () Widzimy, że przy przyjętych założeniach pochodna funkcji zespolonej naprawdę istnieje , z dla kilku zmiennych t: =ϕ(t, v), = ψ(t, v), z=χ(t, v) Oprócz istnienia i ciągłości pochodnych cząstkowych funkcji f(, z), zakładamy tutaj istnienie pochodnych funkcji, z względem t i v To przypadek nie różni się znacząco od rozważanego już, gdyż obliczając pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych ustalamy jedną ze zmiennych i zostaje nam funkcja tylko jednej zmiennej, wzór () będzie to samo z, i () należy przepisać jako: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Przykład u= ; =φ(t)=t ; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Funkcje kilku zmiennych W wielu zagadnieniach geometrii nauk przyrodniczych i innych dyscyplin mamy do czynienia z funkcjami dwóch trzech lub więcej zmiennych Przykłady: Pole trójkąta S a h gdzie a jest podstawą

13. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów Let = have i zdefiniowane na D O. Funkcje i nazywane są także pochodnymi cząstkowymi funkcji pierwszego rzędu lub pierwszymi pochodnymi cząstkowymi funkcji. i na ogół

Zastosowanie Definicja pochodnej Niech i będą wartościami argumentu, a f) i f) - ((odpowiednie wartości funkcji f () Różnica nazywa się przyrostem argumentu, a różnica to przyrost funkcji na odcinku,

Ćwiczenie praktyczne RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI ZŁOŻONEJ I UWZGLĘDNIONEJ Rozróżnianie funkcji zespolonej Różniczkowanie funkcji uwikłanej określonej przez jedno równanie Układy funkcji uwikłanej i parametrycznej

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Funkcje jednej zmiennej niezależnej nie obejmują wszystkich zależności występujących w przyrodzie. Dlatego naturalne jest rozszerzenie i wprowadzenie dobrze znanej koncepcji zależności funkcjonalnej

6 Funkcje ukryte 6.1 Definicje, tło

1. Podstawowe pojęcia. Funkcje wielu zmiennych. Będziemy badać funkcję kilku zmiennych na przykładach funkcji dwóch i trzech zmiennych, ponieważ wszystkie te definicje i uzyskane wyniki

2.2.7. Zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych. Różniczka funkcji y = zależy od x i jest główną częścią przyrostu x. Możesz także użyć wzoru: dy d Wtedy błąd bezwzględny:

Wykład 9. Pochodne i różniczki wyższych rzędów, ich własności. Punkty ekstremalne funkcji. Twierdzenia Fermata i Rolle'a. Niech funkcja y będzie różniczkowalna na pewnym przedziale [b]. W tym przypadku jego pochodna

5 Punkt, w którym F F F lub przynajmniej jedna z tych pochodnych nie istnieje, nazywany jest punktem osobliwym powierzchni W takim punkcie powierzchnia może nie mieć płaszczyzny stycznej Definicja Normalna do powierzchni

OKREŚLONA CAŁKA. Sumy całkowe i całka oznaczona Niech funkcja y = f () zdefiniowana na odcinku [, b ], gdzie< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYKŁE I RZĘDU Podstawowe pojęcia Równanie różniczkowe to równanie, w którym pod pochodną lub znakiem różniczkowym występuje nieznana funkcja.

6. Różniczka funkcji 1. Definicja i znaczenie geometryczne DEFINICJA. Funkcję y = f(x) nazywamy różniczkowalną w punkcie x 0, jeśli jej przyrost w tym punkcie można zapisać jako sumę funkcji liniowej

Wykłady Rozdział Funkcje kilku zmiennych Podstawowe pojęcia Niektóre funkcje kilku zmiennych są dobrze znane Podajmy kilka przykładów Aby obliczyć pole trójkąta, znany jest wzór Herona S

~ 1 ~ FUNKCJA WIELU ZMIENNYCH 3 Funkcja dwóch zmiennych, dziedzina definicji, sposoby określania i znaczenie geometryczne. Definicja: z f, nazywamy funkcją dwóch zmiennych, jeżeli każda para wartości,

Równania różniczkowe pierwszego rzędu rozwiązane względem pochodnej Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania W ogólnym przypadku równanie różniczkowe pierwszego rzędu ma postać F ()

Wykład 3 Ekstremum funkcji wielu zmiennych Niech funkcję kilku zmiennych u = f (x, x) zdefiniujemy w dziedzinie D, a punkt x (x, x) = należy do tej dziedziny Funkcja u = f ( x, x) ma

Temat modułu Ciągi i szeregi funkcyjne Własności jednostajnej zbieżności ciągów i szeregów Szeregi potęgowe Wykład Definicje ciągów i szeregów funkcyjnych Jednostajnie

9 Pochodna i różniczka 91 Podstawowe wzory i definicje rozwiązywania problemów Definicja Niech funkcja y f () jest zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie f (Δ) f () Δy punktu Granica relacji dla Δ Δ Δ, jeśli

1 Temat 1. Równania różniczkowe pierwszego rzędu 1.0. Podstawowe definicje i twierdzenia Równanie różniczkowe pierwszego rzędu: zmienna niezależna; y = y() jest pożądaną funkcją; y = y () jego pochodna.

Wykład 8 Różniczkowanie funkcji zespolonej Rozważ funkcję zespoloną t t t f gdzie ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t

PAŃSTWOWY UNIWERSYTET TECHNICZNY LOTNICTWA CYWILNEGO W MOSKWIE V.M. Ljubimow, E.A. Żukowa, V.A. Ukhova, Yu.A. Szurinow

II RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE Równania różniczkowe pierwszego rzędu Definicja Nazywamy związki, w których nieznane zmienne i ich funkcje są pod znakiem pochodnej lub różniczkowej

6 Zagadnienia prowadzące do pojęcia pochodnej Niech punkt materialny porusza się po linii prostej w jednym kierunku zgodnie z prawem s f (t), gdzie t to czas, a s to droga przebyta przez punkt w czasie t Zanotuj pewien moment

Wykład 3. Całka nieoznaczona. Całka pierwotna i nieoznaczona W rachunku różniczkowym problem jest rozwiązany: dla danej funkcji f () znaleźć jej pochodną (lub różniczkę). Rachunek całkowy

1 Wykład 7 Pochodne i różniczki wyższych rzędów Streszczenie: Wprowadzono pojęcie funkcji różniczkowalnej, podano interpretację geometryczną pierwszej różniczki i udowodniono jej niezmienniczość

Funkcje kilku argumentów Pojęcie funkcji dla każdego elementu x ze zbioru X zgodnie z pewnym prawem y \u003d f (x) jest związane z pojedynczą wartością zmiennej y ze zbioru Y do każdej pary liczb

Opracował VPBelkin 1 Wykład 1 Funkcja kilku zmiennych 1 Podstawowe pojęcia Zależność \u003d f (1, n) zmiennej od zmiennych 1, n nazywana jest funkcją n argumentów 1, n Poniżej rozważymy

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE Pojęcia ogólne Równania różniczkowe mają liczne i bardzo różnorodne zastosowania w mechanice, fizyce, astronomii, technice i innych gałęziach wyższej matematyki (np.

I Definicja funkcji kilku zmiennych Dziedzina definicji Badając wiele zjawisk, mamy do czynienia z funkcjami dwóch lub więcej zmiennych niezależnych, np. temperatury ciała w danym momencie

Wykład 8 Twierdzenia Fermata, Rolle'a, Cauchy'ego, Lagrange'a i L'Hospitala

SA Ławrenczenko wwwlawrencenkoru Wykład 4 Różniczkowanie funkcji zespolonych Różniczkowanie uwikłane Przypomnij sobie regułę różniczkowania dla funkcji jednej zmiennej, zwaną także regułą łańcuchową (zob.

Sekcja Rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennych Funkcja argumentu rzeczywistego Liczby rzeczywiste Liczby całkowite dodatnie nazywane są liczbami naturalnymi Dodawanie do liczb naturalnych

Warsztaty: „Różniczkowalność i różniczka funkcji” Jeżeli funkcja y f () ma w punkcie pochodną skończoną, to przyrost funkcji w tym punkcie można przedstawić jako: y (,) f () () (), gdzie co

Wykład Równania różniczkowe rzędu th Główne typy równań różniczkowych rzędu th i ich rozwiązania Równania różniczkowe są jednym z najczęstszych środków matematycznych

TEMAT 1 FUNKCJA POCHODNA PROGRAM FUNKCJI RÓŻNICZKOWEJ PYTANIA: 11 Powiązanie funkcjonalne Granica funkcji 1 Pochodna funkcji 1 Mechaniczne, fizyczne i geometryczne znaczenie pochodnej 14 Podstawy

M I N S T E R S T O D U R A O V A N I A N A U K I R O S S I O Y F E D E D R A C I O PAŃSTWA FEDERALNEGO AUTONOMICZNA INSTYTUCJA SZKOLNICTWA WYŻSZEGO „Narodowe Badania

DYSCYPLINA "Wyższa Matematyka" kurs, semestr Korespondencyjna forma studiów TEMAT Algebra Macierzy

VV Żuk, AM Kamaczkin Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych. Różniczkowalność funkcji w punkcie. Warunki wystarczające dla różniczkowalności względem pochodnych cząstkowych. Zróżnicowanie złożone

Rozdział 4 Granica funkcji 4 1 POJĘCIE GRANICE FUNKCJI W tym rozdziale skupimy się na koncepcji granicy funkcji. Zdefiniowano granicę funkcji w nieskończoności, a następnie granicę w punkcie, granice

WYKŁAD 23 PRZEKSZTAŁCENIA KANONICZNE. TWIERDZENIE LIOUVILLE'A O ZACHOWANIU OBJĘTOŚCI FAZOWEJ. FUNKCJA GENERUJĄCA TRANSFORMACJE WOLNE Kontynuujemy badanie transformacji kanonicznych. Najpierw przypomnijmy główne

Katedra Matematyki i Informatyki Analiza matematyczna Kompleks dydaktyczno-metodyczny dla studentów HPE studiujących z wykorzystaniem technologii zdalnych Moduł 3 Rachunek różniczkowy funkcji jednego

55 ma nieskończenie małą wartość wyższego rzędu małości w porównaniu z ρ n (,), gdzie ρ () + (), wtedy można ją przedstawić w postaci Peano n R, ρ Przykład Napisz wzór Taylora dla n z

Temat Całka oznaczona Całka oznaczona Problemy prowadzące do koncepcji całki oznaczonej Problem obliczenia pola trapezu krzywoliniowego W układzie współrzędnych Oxy dany jest trapez krzywoliniowy,

5 Szeregi potęgowe 5 Szeregi potęgowe: definicja, dziedzina zbieżności Szeregi funkcyjne postaci (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) liczby nazywane są szeregami potęgowymi Liczby

Szereg liczbowy Ciąg liczbowy Opr Ciąg liczbowy to funkcja liczbowa zdefiniowana na zbiorze liczb naturalnych x - wspólny element ciągu x =, x =, x =, x =,

Równania różniczkowe wykład 4 Równania w różniczkach całkowitych. Czynnik całkujący Wykładowca Anna Igorevna Sherstneva 9. Równania w różniczkach całkowitych Równanie d + d = 14 nazywa się równaniem

Wydział Metalurgii Katedra Matematyki Wyższej

Analiza matematyczna Sekcja: Funkcja wielu zmiennych Temat: Różniczkowalność FNP (koniec. Pochodne cząstkowe i różniczki zespolonego FNP. Różniczkowanie funkcji uwikłanych Wykładowca Rozhkova S.V.

(Twierdzenie Fermata - Twierdzenie Darboux - Twierdzenie Rolle'a - Twierdzenie Lagrange'a

Rozdział 4 Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego Ujawnianie niepewności Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego Twierdzenie Fermata (Pierre Fermat (6-665) francuski matematyk) Jeżeli funkcja y f

WYKŁAD 7 OBLICZANIE RÓŻNICZKOWE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 1 Pojęcie pochodnej funkcji

Ministerstwo Edukacji Republiki Białoruś Witebski Państwowy Uniwersytet Technologiczny Temat. Katedra Matematyki Teoretycznej i Stosowanej "Rzędy". opracowany przez doc. EB Dunina. Główny

Wykład 3 Szeregi Taylora i Maclaurina Zastosowanie szeregów potęgowych Rozwinięcie funkcji na szeregi potęgowe Szeregi Taylora i Maclaurina Dla zastosowań ważna jest umiejętność rozwinięcia danej funkcji do szeregu potęgowego, te funkcje

58 Całka oznaczona Niech funkcja () będzie dana na przedziale. Funkcję będziemy uważać za ciągłą, choć nie jest to konieczne. Wybieramy dowolne liczby z przedziału 3, n-, spełniające warunek:

Równania różniczkowe wyższego rzędu. Koniew V.V. Konspekty wykładów. Spis treści 1. Podstawowe pojęcia 1 2. Równania umożliwiające redukcję rzędu 2 3. Liniowe równania różniczkowe wyższego rzędu

Wykład 20 Twierdzenie o pochodnej funkcji zespolonej. Niech y = f(u) i u= u(x). Otrzymujemy funkcję y w zależności od argumentu x: y = f(u(x)). Ostatnia funkcja nazywana jest funkcją funkcji lub funkcją zespoloną.

Różniczkowanie funkcji uwikłanej Rozważmy funkcję (,) = C (C = const) To równanie definiuje funkcję uwikłaną () Załóżmy, że rozwiązaliśmy to równanie i znaleźliśmy wyrażenie jawne = () Teraz możemy

Moskiewski Instytut Lotniczy (National Research University) Katedra Wyższej Matematyki Granice Pochodne Funkcje wielu zmiennych Wytyczne i opcje kontroli

PRACE LABORATORYJNE 7 FUNKCJE UOGÓLNIONE I. PODSTAWOWE POJĘCIA I TWIERDZENIA Oznaczmy przez D zbiór wszystkich nieskończenie różniczkowalnych funkcji skończonych zmiennej rzeczywistej. Ten

Rozdział 3. Badanie funkcji za pomocą pochodnych 3.1. Ekstrema i monotoniczność Rozważmy funkcję y = f () zdefiniowaną w pewnym przedziale I R. Mówi się, że ma ona lokalne maksimum w punkcie

Moskiewski Państwowy Uniwersytet Techniczny im. N.E. Baumana Wydział Nauk Podstawowych Katedra Modelowania Matematycznego А.Н. Kanatnikow,

Wytyczne i warianty RGR na temat Funkcja kilku zmiennych dla studentów specjalności Projektowanie. Jeżeli ilość jest ustalana w sposób jednoznaczny poprzez ustalenie wartości ilości i są one niezależne od siebie,

Moskiewski Państwowy Uniwersytet Techniczny im. N.E. Baumana Wydział Nauk Podstawowych Katedra Modelowania Matematycznego А.Н. Kanatnikow, A.P. Kryszenko

INSTRUKCJE METODOLOGICZNE DO ZADANIA OBLICZENIOWEGO Z KIERUNKU MATEMATYKI WYŻSZEJ „SERIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYKŁYCH CAŁKI PODWÓJNE” CZĘŚĆ III SERIE TEMATYCZNE Spis treści Serie Szeregi liczbowe Zbieżność i rozbieżność

Granica funkcji. Definicja limitu sekwencji liczb. Nieskończony ciąg liczbowy (lub po prostu ciąg liczbowy) jest funkcją f f (, zdefiniowaną na zbiorze all

Wykład 19 POCHODNA I JEJ ZASTOSOWANIA. DEFINICJA POCHODNEJ. Niech jakaś funkcja y=f(x) zdefiniowana jest na pewnym przedziale. Dla każdej wartości argumentu x z tego przedziału funkcja y=f(x)

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wielkość nazywamy funkcją zmiennych n, jeśli każdemu punktowi M n należącemu do jakiegoś zbioru X jest przypisany

WYKŁAD N 7. Władza

Wykład 3 Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności dla rozwiązania równania skalarnego Sformułowanie problemu Główny wynik Rozważ problem Cauchy'ego d f () d =, () =

Federalna Agencja Edukacji Moskiewski Państwowy Uniwersytet Geodezji i Kartografii (MIIGAiK) INSTRUKCJE METODOLOGICZNE I ZADANIA DO SAMODZIELNEJ PRACY na kursie MATEMATYKA WYŻSZA

Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych.
Koncepcja i przykłady rozwiązań

W tej lekcji będziemy kontynuować naszą znajomość funkcji dwóch zmiennych i rozważymy być może najczęstsze zadanie tematyczne - znalezienie pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu oraz różniczka całkowita funkcji. Studenci studiów niestacjonarnych z reguły mają do czynienia z pochodnymi cząstkowymi na 1. roku w 2. semestrze. Ponadto, zgodnie z moimi obserwacjami, zadanie znalezienia pochodnych cząstkowych prawie zawsze znajduje się na egzaminie.

Aby skutecznie przestudiować poniższy materiał, ty niezbędny być w stanie z większą lub mniejszą pewnością znaleźć „zwykłe” pochodne funkcji jednej zmiennej. Możesz nauczyć się, jak poprawnie obsługiwać pochodne na lekcjach Jak znaleźć pochodną? I Pochodna funkcji złożonej. Potrzebujemy również tabeli pochodnych funkcji elementarnych i reguł różniczkowania, najwygodniej jest, jeśli jest pod ręką w formie drukowanej. Materiały referencyjne można znaleźć na stronie Wzory i tablice matematyczne.

Powtórzmy szybko pojęcie funkcji dwóch zmiennych, postaram się ograniczyć do absolutnego minimum. Funkcja dwóch zmiennych jest zwykle zapisywana jako , przy czym zmienne są wywoływane niezależne zmienne Lub argumenty.

Przykład: - funkcja dwóch zmiennych.

Czasami używana jest notacja. Istnieją również zadania, w których litera jest używana zamiast litery.

Z geometrycznego punktu widzenia funkcją dwóch zmiennych jest najczęściej powierzchnia przestrzeni trójwymiarowej (płaszczyzna, walec, kula, paraboloida, hiperboloida itp.). Ale w rzeczywistości jest to już bardziej geometria analityczna, a na porządku dziennym mamy analizę matematyczną, której mój nauczyciel uniwersytecki nigdy nie pozwolił mi skreślić, to mój „koń”.

Przechodzimy do kwestii znajdowania pochodnych cząstkowych pierwszego i drugiego rzędu. Mam dobrą wiadomość dla tych z Was, którzy wypili już kilka filiżanek kawy i mają ochotę na niewyobrażalnie trudny materiał: pochodne cząstkowe są prawie takie same jak pochodne „zwykłe” funkcji jednej zmiennej.

Dla pochodnych cząstkowych obowiązują wszystkie reguły różniczkowania i tablica pochodnych funkcji elementarnych. Jest tylko kilka drobnych różnic, które poznamy teraz:

... tak przy okazji, dla tego tematu stworzyłem mała książeczka pdf, co pozwoli Ci „zapełnić rękę” w zaledwie kilka godzin. Ale korzystając z witryny, oczywiście uzyskasz również wynik - może tylko trochę wolniej:

Przykład 1

Znajdź pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu funkcji

Najpierw znajdujemy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Jest ich dwóch.

Notacja:
lub - pochodna cząstkowa po „x”
lub - pochodna cząstkowa po „y”

Zacznijmy . Kiedy znajdziemy pochodną cząstkową względem „x”, wówczas zmienną uważa się za stałą (liczbę stałą).

Komentarze do podjętych działań:

(1) Pierwszą rzeczą, którą robimy, gdy znajdujemy pochodną cząstkową, jest wnioskowanie Wszystko funkcja w nawiasach pod myślnikiem z indeksem dolnym.

Uwaga ważna! Subskrypcje NIE GUBIĄ SIĘ w trakcie rozwiązania. W takim przypadku, jeśli gdzieś narysujesz „obrys”, nauczyciel może przynajmniej umieścić go obok zadania (natychmiast odgryźć część wyniku za nieuwagę).

(2) Skorzystaj z reguł różniczkowania , . W przypadku prostego przykładu, takiego jak ten, obie reguły można zastosować w tym samym kroku. Zwróć uwagę na pierwszy wyraz: od jest uważane za stałą, a ze znaku pochodnej można wyjąć dowolną stałą, to wyjmujemy to z nawiasów. Oznacza to, że w tej sytuacji nie jest lepszy niż zwykła liczba. Teraz spójrzmy na trzeci termin: tutaj, wręcz przeciwnie, nie ma nic do wyjęcia. Ponieważ jest to stała, jest również stałą iw tym sensie nie jest lepsza niż ostatni wyraz - „siódemka”.

(3) Używamy pochodnych tabelarycznych i .

(4) Upraszczamy lub, jak lubię mówić, „łączymy” odpowiedź.

Teraz . Kiedy znajdziemy pochodną cząstkową względem „y”, to zmiennąuważane za stałą (liczbę stałą).

(1) Używamy tych samych zasad różniczkowania , . W pierwszym członie usuwamy stałą poza znakiem pochodnej, w drugim członie nic nie można wyjąć, ponieważ jest to już stała.

(2) Korzystamy z tablicy pochodnych funkcji elementarnych. Mentalnie zmień w tabeli wszystkie „X” na „Y”. Oznacza to, że ta tabela jest równie ważna dla (i rzeczywiście dla prawie każdej litery). W szczególności formuły, których używamy, wyglądają następująco: i .

Jakie jest znaczenie pochodnych cząstkowych?

W swej istocie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu przypominają „zwykła” pochodna:

- Ten Funkcje, które charakteryzują tempo zmian funkcje w kierunku osi i odpowiednio. A więc na przykład funkcja charakteryzuje stromość „podjazdów” i „zboczy” powierzchnie w kierunku osi odciętych, a funkcja mówi nam o „reliefie” tej samej powierzchni w kierunku osi rzędnych.

! Notatka : tutaj odnosi się do kierunków, które są równoległe osie współrzędnych.

Dla lepszego zrozumienia rozważmy konkretny punkt płaszczyzny i obliczmy w nim wartość funkcji („wysokość”):
- a teraz wyobraź sobie, że jesteś tutaj (NA SAMEJ powierzchni).

Obliczamy pochodną cząstkową względem „x” w danym punkcie:

Mówi nam o tym ujemny znak pochodnej „X”. malejąco funkcje w punkcie w kierunku osi x. Innymi słowy, jeśli zrobimy małe-małe (nieskończenie mały) krok w kierunku wierzchołka osi (równolegle do tej osi), a następnie zejdź po zboczu powierzchni.

Teraz poznajemy naturę „terenu” w kierunku osi y:

Pochodna względem „y” jest dodatnia, zatem w punkcie wzdłuż osi funkcja wzrasta. Jeśli to dość proste, to tutaj czeka nas wspinaczka pod górę.

Ponadto charakteryzuje się pochodną cząstkową w punkcie tempo zmian działa w odpowiednim kierunku. Im większa wartość wynikowa modulo- im bardziej stroma powierzchnia i odwrotnie, im bliżej zera, tym bardziej płaska powierzchnia. Tak więc w naszym przykładzie „nachylenie” w kierunku osi odciętych jest bardziej strome niż „góra” w kierunku osi rzędnych.

Ale to były dwie prywatne ścieżki. Jest całkiem jasne, że z punktu, w którym się znajdujemy, (i ogólnie z dowolnego punktu danej powierzchni) możemy ruszyć w innym kierunku. Dlatego istnieje zainteresowanie sporządzeniem ogólnej „mapy nawigacyjnej”, która powiedziałaby nam o „krajobrazie” powierzchni. Jeśli to możliwe w każdym punkcie zakres tej funkcji wszystkimi dostępnymi sposobami. O tym i innych ciekawych rzeczach opowiem na jednej z kolejnych lekcji, ale na razie wróćmy do technicznej strony zagadnienia.

Systematyzujemy elementarne stosowane zasady:

1) Kiedy różnicujemy przez , to zmienna jest uważana za stałą.

2) Gdy różniczkowanie przeprowadza się wg, to jest uważane za stałą.

3) Reguły i tablica pochodnych funkcji elementarnych obowiązują i mają zastosowanie do dowolnej zmiennej (lub dowolnej innej), względem której przeprowadza się różniczkowanie.

Krok drugi. Znajdujemy pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Jest ich czterech.

Notacja:
lub - druga pochodna względem „x”
lub - druga pochodna względem „y”
Lub - mieszany pochodna „x na y”
Lub - mieszany pochodna „Y z X”

Nie ma problemu z drugą pochodną. W prostych słowach, druga pochodna jest pochodną pierwszej pochodnej.

Dla wygody przepiszę znalezione już pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

Najpierw znajdujemy mieszane pochodne:

Jak widać, wszystko jest proste: bierzemy pochodną cząstkową i różnicujemy ją ponownie, ale w tym przypadku już o „y”.

Podobnie:

W praktycznych przykładach możesz skupić się na następującej równości:

Zatem za pomocą mieszanych pochodnych drugiego rzędu bardzo wygodnie jest sprawdzić, czy poprawnie znaleźliśmy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu.

Znajdujemy drugą pochodną względem „x”.
Żadnych wynalazków, bierzemy i ponownie rozróżnij to przez „X”:

Podobnie:

Należy zauważyć, że podczas wyszukiwania , musisz pokazać zwiększona uwaga, ponieważ nie ma cudownych równości, które mogłyby je przetestować.

Drugie pochodne znajdują również szerokie zastosowanie praktyczne, w szczególności są wykorzystywane w problemie znajdowania ekstrema funkcji dwóch zmiennych. Ale wszystko ma swój czas:

Przykład 2

Oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji w punkcie . Znajdź pochodne drugiego rzędu.

To jest przykład samodzielnego rozwiązania (odpowiedzi na końcu lekcji). Jeśli masz trudności z rozróżnianiem korzeni, wróć do lekcji Jak znaleźć pochodną? Ogólnie rzecz biorąc, wkrótce nauczysz się znajdować podobne pochodne w locie.

Wypełniamy naszą rękę bardziej złożonymi przykładami:

Przykład 3

Sprawdź to . Zapisz całkowitą różniczkę pierwszego rzędu.

Rozwiązanie: Znajdujemy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:

Zwróć uwagę na indeks dolny: obok „x” nie wolno pisać w nawiasach, że jest to stała. Ten znak może być bardzo przydatny dla początkujących, aby ułatwić poruszanie się po rozwiązaniu.

Dalsze komentarze:

(1) Wyciągamy wszystkie stałe poza znakiem pochodnej. W tym przypadku i , a zatem ich iloczyn jest uważany za liczbę stałą.

(2) Nie zapomnij, jak prawidłowo różnicować korzenie.

(1) Usuwamy wszystkie stałe ze znaku pochodnej, w tym przypadku stała to .

(2) Pod liczbą pierwszą mamy iloczyn dwóch funkcji, dlatego musimy skorzystać z reguły różnicowania produktu .

(3) Nie zapominaj, że jest to funkcja złożona (chociaż najprostsza ze złożonych). Korzystamy z odpowiedniej reguły: .

Teraz znajdujemy mieszane pochodne drugiego rzędu:

Oznacza to, że wszystkie obliczenia są prawidłowe.

Napiszmy całkowitą różnicę. W kontekście rozważanego zadania nie ma sensu mówić, jaka jest całkowita różniczka funkcji dwóch zmiennych. Ważne jest, że bardzo często ta różnica musi być zapisana w praktycznych problemach.

Całkowita różnica pierwszego rzędu funkcje dwóch zmiennych ma postać:

W tym przypadku:

Oznacza to, że we wzorze wystarczy po prostu głupio zastąpić już znalezione pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Ikony różniczkowe w tej i podobnych sytuacjach, jeśli to możliwe, powinny być zapisane w licznikach:

I na wielokrotną prośbę czytelników, pełna różniczka drugiego rzędu.

To wygląda tak:

UWAŻNIE znajdź jednoliterowe pochodne drugiego rzędu:

i zapisz „potwora”, ostrożnie „dołączając” kwadraty, iloczyn i nie zapominając o podwojeniu mieszanej pochodnej:

W porządku, jeśli coś wydawało się trudne, zawsze możesz wrócić do pochodnych później, po opanowaniu techniki różniczkowania:

Przykład 4

Znajdź pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji . Sprawdź to . Zapisz całkowitą różniczkę pierwszego rzędu.

Rozważ serię przykładów ze złożonymi funkcjami:

Przykład 5

Znajdź pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji.

Rozwiązanie:

Przykład 6

Znajdź pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji .
Zapisz całkowitą różnicę.

To jest przykład samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji). Nie będę publikować kompletnego rozwiązania, ponieważ jest to dość proste.

Dość często wszystkie powyższe zasady są stosowane łącznie.

Przykład 7

Znajdź pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji .

(1) Korzystamy z reguły różniczkowania sumy

(2) Pierwszy wyraz w tym przypadku jest uważany za stałą, ponieważ w wyrażeniu nie ma niczego, co zależy od „x” – tylko od „y”. Wiesz, to zawsze miłe, gdy ułamek można zamienić na zero). W przypadku drugiej kadencji stosujemy zasadę zróżnicowania produktów. Nawiasem mówiąc, w tym sensie nic by się nie zmieniło, gdyby w zamian podano funkcję - ważne, że tutaj iloczyn dwóch funkcji, KAŻDY z nich zależy od "X", a zatem należy zastosować regułę różnicowania produktu. Dla trzeciego wyrazu stosujemy regułę różniczkowania funkcji zespolonej.

(1) Pierwszy wyraz zarówno w liczniku, jak i mianowniku zawiera „y”, dlatego należy zastosować regułę różniczkowania ilorazu: . Drugi wyraz zależy TYLKO od „x”, co oznacza, że ​​jest uważany za stałą i zmienia się w zero. Dla trzeciego wyrazu stosujemy regułę różniczkowania funkcji zespolonej.

Tym czytelnikom, którzy odważnie dobrnęli prawie do końca lekcji, opowiem starą anegdotę Mechmatowa na odprężenie:

Kiedyś w przestrzeni funkcji pojawiła się pochodna zła i jak poszło różnicowanie wszystkich. Wszystkie funkcje rozpraszają się we wszystkich kierunkach, nikt nie chce się skręcić! I tylko jedna funkcja nigdzie nie ucieka. Pochodna podchodzi do niego i pyta:

– Dlaczego ode mnie nie uciekasz?

- Ha. Ale mnie to nie obchodzi, bo jestem „e do potęgi x” i nie możesz mi nic zrobić!

Na co zła pochodna z podstępnym uśmiechem odpowiada:

- Tu się mylisz, wyróżnię cię przez „y”, więc bądź dla ciebie zerem.

Kto zrozumiał żart, opanował pochodne, przynajmniej dla „trojki”).

Przykład 8

Znajdź pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji .

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i przykładowy projekt problemu znajdują się na końcu lekcji.

Cóż, to prawie wszystko. Wreszcie, nie mogę nie zadowolić matematyków jeszcze jednym przykładem. Nie chodzi nawet o amatorów, każdy ma inny poziom wyszkolenia matematycznego – są osoby (i to wcale nie takie rzadkie), które lubią rywalizować przy trudniejszych zadaniach. Chociaż ostatni przykład w tej lekcji jest nie tyle skomplikowany, co uciążliwy pod względem obliczeń.

Każda pochodna cząstkowa (pon X i przez y) funkcji dwóch zmiennych jest zwykłą pochodną funkcji jednej zmiennej ze stałą wartością drugiej zmiennej:

(Gdzie y= stała),

(Gdzie X= stała).

Dlatego pochodne cząstkowe są obliczane z wzory i zasady obliczania pochodnych funkcji jednej zmiennej, uznając drugą zmienną za stałą (stałą).

Jeśli nie potrzebujesz analizy przykładów i niezbędnego do tego minimum teorii, ale potrzebujesz tylko rozwiązania swojego problemu, przejdź do internetowy kalkulator pochodnych cząstkowych .

Jeśli trudno jest skupić się na śledzeniu, gdzie w funkcji znajduje się stała, to w projekcie rozwiązania przykładu zamiast zmiennej o stałej wartości można podstawić dowolną liczbę - wtedy można szybko obliczyć pochodną cząstkową jako zwykłą pochodna funkcji jednej zmiennej. Trzeba tylko nie zapomnieć o zwróceniu stałej (zmiennej o stałej wartości) na swoje miejsce po zakończeniu.

Własność pochodnych cząstkowych opisana powyżej wynika z definicji pochodnej cząstkowej, którą można znaleźć w pytaniach egzaminacyjnych. Dlatego, aby zapoznać się z poniższą definicją, możesz otworzyć odniesienie teoretyczne.

Pojęcie ciągłości funkcji z= F(X, y) w punkcie definiuje się podobnie do tego pojęcia dla funkcji jednej zmiennej.

Funkcjonować z = F(X, y) nazywamy ciągłą w punkcie if

Różnica (2) nazywana jest całkowitym przyrostem funkcji z(uzyskuje się to poprzez zwiększenie obu argumentów).

Niech funkcja z= F(X, y) i kropka

Jeśli funkcja się zmieni z występuje, gdy zmienia się tylko jeden z argumentów, np. X, ze stałą wartością drugiego argumentu y, to funkcja będzie inkrementowana

nazywany częściowym przyrostem funkcji F(X, y) Przez X.

Biorąc pod uwagę zmianę funkcji z w zależności od zmiany tylko jednego z argumentów przechodzimy właściwie do funkcji jednej zmiennej.

Jeśli istnieje skończona granica

wtedy nazywa się to pochodną cząstkową funkcji F(X, y) argumentem X i jest oznaczony jednym z symboli

(4)

Przyrost częściowy jest definiowany podobnie z Przez y:

i pochodna cząstkowa F(X, y) Przez y:

(6)

Przykład 1

Rozwiązanie. Znajdujemy pochodną cząstkową względem zmiennej „x”:

(y naprawił);

Znajdujemy pochodną cząstkową względem zmiennej „y”:

(X naprawił).

Jak widać, nie ma znaczenia, w jakim stopniu zmienna jest stała: w tym przypadku jest to tylko pewna liczba, która jest czynnikiem (jak w przypadku zwykłej pochodnej) ze zmienną, na podstawie której znajdujemy częściową pochodna. Jeżeli zmienna ustalona nie zostanie pomnożona przez zmienną, względem której znajdujemy pochodną cząstkową, to ta samotna stała, niezależnie od stopnia, jak w przypadku zwykłej pochodnej, znika.

Przykład 2 Biorąc pod uwagę funkcję

Znajdź pochodne cząstkowe

(o x) i (o y) i oblicz ich wartości w punkcie A (1; 2).

Rozwiązanie. Na stałe y pochodna pierwszego wyrazu jest obliczana jako pochodna funkcji potęgowej ( tablica funkcji pochodnych jednej zmiennej):

.

Na stałe X pochodna pierwszego członu znajduje się jako pochodna funkcji wykładniczej, a drugiego - jako pochodna stałej:

Teraz obliczamy wartości tych pochodnych cząstkowych w punkcie A (1; 2):

Możesz sprawdzić rozwiązanie zadań z pochodnymi cząstkowymi na internetowy kalkulator pochodnych cząstkowych .

Przykład 3 Znajdź częściowe pochodne funkcji

Rozwiązanie. W jednym kroku znajdujemy

(y X, tak jakby argumentem sinusa było 5 X: analogicznie przed znakiem funkcji pojawia się 5);

(X jest stała i jest w tym przypadku czynnikiem w y).

Możesz sprawdzić rozwiązanie zadań z pochodnymi cząstkowymi na internetowy kalkulator pochodnych cząstkowych .

Pochodne cząstkowe funkcji trzech lub więcej zmiennych definiuje się podobnie.

Jeśli każdy zestaw wartości ( X; y; ...; T) niezależne zmienne ze zbioru D odpowiada jednej określonej wartości u od wielu mi, To u nazywa się funkcją zmiennych X, y, ..., T i oznaczać u= F(X, y, ..., T).

Dla funkcji trzech lub więcej zmiennych nie ma interpretacji geometrycznej.

Pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych są również definiowane i obliczane przy założeniu, że zmienia się tylko jedna ze zmiennych niezależnych, a pozostałe są stałe.

Przykład 4 Znajdź częściowe pochodne funkcji

.

Rozwiązanie. y I z naprawił:

X I z naprawił:

X I y naprawił:

Znajdź samodzielnie pochodne cząstkowe, a następnie zobacz rozwiązania

Przykład 5

Przykład 6 Znajdź pochodne cząstkowe funkcji.

Pochodna cząstkowa funkcji kilku zmiennych ma to samo znaczenie mechaniczne jako pochodna funkcji jednej zmiennej, to szybkość, z jaką funkcja zmienia się względem zmiany jednego z argumentów.

Przykład 8 ilość przepływu P pasażerów kolei można wyrazić jako funkcję

Gdzie P- ilość pasażerów, N- liczbę mieszkańców odpowiednich punktów, R– odległość między punktami.

Pochodna cząstkowa funkcji P Przez R równy

pokazuje, że spadek potoku pasażerów jest odwrotnie proporcjonalny do kwadratu odległości między odpowiednimi punktami dla tej samej liczby mieszkańców w punktach.

Pochodna częściowa P Przez N równy

pokazuje, że wzrost potoku pasażerów jest proporcjonalny do dwukrotnej liczby mieszkańców miejscowości o tej samej odległości między punktami.

Możesz sprawdzić rozwiązanie zadań z pochodnymi cząstkowymi na internetowy kalkulator pochodnych cząstkowych .

Pełny mechanizm różnicowy

Iloczyn pochodnej cząstkowej i przyrostu odpowiedniej zmiennej niezależnej nazywa się różniczką cząstkową. Różniczki cząstkowe są oznaczone w następujący sposób:

Suma różnic cząstkowych po wszystkich zmiennych niezależnych daje całkowitą różnicę. Dla funkcji dwóch zmiennych niezależnych całkowita różnica jest wyrażona przez równość

(7)

Przykład 9 Znajdź pełną różniczkę funkcji

Rozwiązanie. Wynik zastosowania wzoru (7):

Funkcję, która ma całkowitą różniczkę w każdym punkcie jakiejś dziedziny, nazywamy różniczkowalną w tej dziedzinie.

Znajdź całkowitą różnicę samodzielnie, a następnie zobacz rozwiązanie

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, różniczkowalność funkcji w pewnym obszarze implikuje jej ciągłość w tym obszarze, ale nie odwrotnie.

Sformułujmy bez dowodu warunek wystarczający na różniczkowalność funkcji.

Twierdzenie. Jeśli funkcja z= F(X, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe

w danym obszarze, to jest różniczkowalna w tym obszarze, a jej różniczka wyraża się wzorem (7).

Można wykazać, że tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej różniczka funkcji jest główną liniową częścią przyrostu funkcji, tak w przypadku funkcji kilku zmiennych różniczka całkowita wynosi główny, liniowy względem przyrostów zmiennych niezależnych, część przyrostu całkowitego funkcji.

Dla funkcji dwóch zmiennych całkowity przyrost funkcji ma postać

(8)

gdzie α i β są nieskończenie małe dla i .

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

Pochodne cząstkowe i funkcje F(X, y) same są pewnymi funkcjami tych samych zmiennych iz kolei mogą mieć pochodne względem różnych zmiennych, które nazywane są pochodnymi cząstkowymi wyższych rzędów.

Rozważ zmianę funkcji, gdy zwiększasz tylko jeden z jej argumentów − x ja, i nazwijmy to .

Definicja 1.7.prywatna pochodna funkcje przez argument x ja zwany .

Oznaczenia: .

Zatem pochodna cząstkowa funkcji kilku zmiennych jest w rzeczywistości zdefiniowana jako pochodna funkcji jedna zmienna - x i. Dlatego wszystkie własności pochodnych udowodnione dla funkcji jednej zmiennej są dla niej ważne.

Komentarz. W praktycznym obliczaniu pochodnych cząstkowych posługujemy się zwykłymi regułami różniczkowania funkcji jednej zmiennej, zakładając, że argument, względem którego przeprowadza się różniczkowanie, jest zmienny, a pozostałe argumenty są stałe.

1. z= 2X² + 3 xy –12y² + 5 X – 4y +2,

2. z = x y ,

Geometryczna interpretacja pochodnych cząstkowych funkcji dwóch zmiennych.

Rozważ równanie powierzchni z = f(x,y) i narysuj płaszczyznę x = konst. Wybierzmy punkt na linii przecięcia płaszczyzny z powierzchnią M (x, y). Jeśli ustawisz argument Na przyrost Δ Na i rozważ punkt T na krzywej o współrzędnych ( x, y+Δ y, z+Δy z), następnie tangens kąta utworzonego przez sieczną MT z dodatnim kierunkiem osi O Na, będzie równy . Przechodząc do granicy w , otrzymujemy, że pochodna cząstkowa jest równa tangensowi kąta utworzonego przez styczną do krzywej wynikowej w punkcie M z dodatnim kierunkiem osi O y. W związku z tym pochodna cząstkowa jest równa tangensowi kąta z osią O X styczna do krzywej wynikającej z przekroju powierzchni z = f(x,y) samolot y= konst.

Definicja 2.1. Wywoływany jest pełny przyrost funkcji u = f(x, y, z).

Definicja 2.2. Jeśli przyrost funkcji u \u003d f (x, y, z) w punkcie (x 0, y 0, z 0) można przedstawić w postaci (2.3), (2.4), wówczas funkcja nazywa się różniczkowalna w tym momencie, a wyrażenie nazywa się główną liniową częścią przyrostu lub całkowitą różniczką rozważanej funkcji.

Notacja: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, różniczki zmiennych niezależnych są ich dowolnymi przyrostami, stąd

Uwaga 1. Zatem stwierdzenie „funkcja jest różniczkowalna” nie jest równoznaczne ze stwierdzeniem „funkcja ma pochodne cząstkowe” – różniczkowalność wymaga również ciągłości tych pochodnych w rozpatrywanym punkcie.

4. Płaszczyzna styczna i normalna do powierzchni. Geometryczne znaczenie różniczki.

Niech funkcja z = f(x, y) jest różniczkowalna w sąsiedztwie punktu M (x 0, y 0). Wówczas jego pochodnymi cząstkowymi są nachylenia stycznych do linii przecięcia powierzchni z = f(x, y) z samolotami y = y 0 I x = x 0, która będzie styczna do samej powierzchni z = f(x, y). Napiszmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez te proste. Wektory kierunkowe stycznych mają postać (1; 0; ) i (0; 1; ), więc normalną do płaszczyzny można przedstawić jako iloczyn ich wektorów: N = (- ,- , 1). Dlatego równanie płaszczyzny można zapisać jako:

Gdzie z0 = .

Definicja 4.1. Nazywa się płaszczyznę określoną równaniem (4.1). płaszczyzna styczna do wykresu funkcji z = f(x, y) w punkcie o współrzędnych (x 0, y 0, z 0).

Ze wzoru (2.3) dla przypadku dwóch zmiennych wynika, że ​​przyrost funkcji F w pobliżu punktu M można przedstawić jako:

Dlatego różnica między zastosowaniami wykresu funkcji i płaszczyzny stycznej jest nieskończenie mniejszym rzędem niż ρ, Na ρ→ 0.

W tym przypadku różniczka funkcji F wygląda jak:

co odpowiada przyrost zastosowania płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji. To jest geometryczne znaczenie różniczki.

Definicja 4.2. Niezerowy wektor prostopadły do ​​płaszczyzny stycznej w punkcie M (x 0, y 0) powierzchnie z = f(x, y), jest nazywany normalna w tym momencie na powierzchnię.

Jako normalną do rozważanej powierzchni wygodnie jest przyjąć wektor - N = { , ,-1}.