Analogicznie do linearyzacji funkcji jednej zmiennej, w przybliżonym obliczeniu wartości funkcji kilku zmiennych, różniczkowalnych w pewnym punkcie, jej przyrost można zastąpić różniczką. W ten sposób można znaleźć przybliżoną wartość funkcji kilku (na przykład dwóch) zmiennych za pomocą wzoru:
Przykład.
Oblicz przybliżoną wartość 
.
Rozważ funkcję 
i wybierz X 0
=
1, Na 0
=
2. Następnie Δ x = 1,02 - 1 = 0,02; Δ y= 1,97 - 2 = -0,03. Znajdźmy 
,
Dlatego biorąc pod uwagę, że F
( 1, 2) = 3, otrzymujemy:
Różniczkowanie funkcji zespolonych.
Niech argumenty funkcji z = F (X, y) u I w: X = X (u, w), y = y (u, w). Następnie funkcja F jest też funkcja u I w. Dowiedz się, jak znaleźć jego pochodne cząstkowe w odniesieniu do argumentów u I w, bez bezpośredniego zastąpienia
z = fa (x(u, v), y(u, v)). W tym przypadku przyjmiemy, że wszystkie rozważane funkcje mają pochodne cząstkowe względem wszystkich swoich argumentów.
Ustaw argument u przyrost Δ u, bez zmiany argumentu w. Następnie
Jeśli ustawisz przyrost tylko na argument w, otrzymujemy: . (2.8)
Dzielimy obie strony równości (2.7) przez Δ u i równości (2.8) na Δ w i przejść odpowiednio do granicy dla Δ u→ 0 i ∆ w→ 0. W tym przypadku bierzemy to pod uwagę ze względu na ciągłość funkcji X I Na. Stąd,
Rozważmy kilka szczególnych przypadków.
Pozwalać
X
=
X(T),
y
=
y(T).
Następnie funkcja F
(X,
y)
jest właściwie funkcją jednej zmiennej T, i jest to możliwe, wykorzystując wzory (2.9) i podstawiając w nich pochodne cząstkowe X I Na Przez u
I w do zwykłych pochodnych względem T(oczywiście pod warunkiem różniczkowalności funkcji X(T)
I
y(T)
), uzyskaj wyrażenie dla 
:
(2.10)
Załóżmy teraz, że jako T ulubiona zmienna X, to jest X I Na powiązane stosunkiem y = y(x). W tym przypadku, podobnie jak w poprzednim przypadku, funkcja F jest funkcją jednej zmiennej X. Korzystając ze wzoru (2.10) dla T
=
X
i biorąc to pod uwagę 
, rozumiemy to
.
(2.11)
Zauważ, że ten wzór zawiera dwie pochodne funkcji F argumentem X: po lewej stronie jest tzw całkowita pochodna, w przeciwieństwie do prywatnego po prawej stronie.
Przykłady.
Następnie ze wzoru (2.9) otrzymujemy: 
(W wyniku końcowym zastępujemy wyrażenia for X I Na jak funkcjonować u I w).
Znajdźmy całkowitą pochodną funkcji z = grzech( X + y²), gdzie y = sałata X.
Niezmienniczość postaci różniczkowej.
Za pomocą wzorów (2.5) i (2.9) wyrażamy całkowitą różniczkę funkcji z = F (X, y) , Gdzie X = X(u, w), y = y(u, w), przez różniczki zmiennych u I w:
(2.12)
Dlatego forma różniczki jest zachowana dla argumentów u I w tak samo jak dla funkcji tych argumentów X I Na, czyli jest niezmienny(bez zmian).
Funkcje ukryte, warunki ich istnienia. Różniczkowanie funkcji uwikłanych. Pochodne cząstkowe i różniczki wyższych rzędów, ich własności.
Definicja 3.1. Funkcjonować Na z X, określone równaniem
F(x,y)= 0 , (3.1)
zwany funkcja niejawna.
Oczywiście nie każde równanie postaci (3.1) wyznacza Na jako jednowartościową (a ponadto ciągłą) funkcję X. Na przykład równanie elipsy
zestawy Na jako funkcja dwuwartościowa X:
Dla 
Warunki istnienia jednowartościowej i ciągłej funkcji uwikłanej określa następujące twierdzenie:
Twierdzenie 3.1 (brak dowodów). Zostawiać:
a) w jakimś sąsiedztwie punktu ( X 0 , y 0 ) równanie (3.1) określa Na jako jednowartościowa funkcja X: y = F(X) ;
b) kiedy x = x 0 ta funkcja przyjmuje wartość Na 0 : F (X 0 ) = y 0 ;
c) funkcja F (X) ciągły.
Znajdźmy, przy podanych warunkach, pochodną funkcji y = F (X) Przez X.
Twierdzenie 3.2.
Niech funkcja Na z X jest dane implicite równaniem (3.1), gdzie funkcja F
(X,
y)
spełnia warunki Twierdzenia 3.1. Niech dodatkowo 
- funkcje ciągłe w jakiejś dziedzinie D zawierający punkt (x, y), którego współrzędne spełniają równanie (3.1) iw tym punkcie 
. Następnie funkcja Na z X ma pochodną
(3.2)
Przykład. Znajdźmy 
, Jeśli 
. Znajdźmy 
,
.
Następnie ze wzoru (3.2) otrzymujemy: 
.
Pochodne i różniczki wyższych rzędów.
Funkcje pochodne cząstkowe z = F (X, y) są z kolei funkcjami zmiennych X I Na. Dlatego można znaleźć ich pochodne cząstkowe względem tych zmiennych. Oznaczmy je tak:
W ten sposób otrzymuje się cztery pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Każdy z nich można ponownie rozróżnić według X i przez Na i otrzymać osiem pochodnych cząstkowych trzeciego rzędu itd. Definiujemy pochodne wyższego rzędu w następujący sposób:
Definicja 3.2.prywatna pochodnaN -te zamówienie funkcji kilku zmiennych nazywa się pierwszą pochodną pochodnej ( N– 1) zamówienie.
Pochodne cząstkowe mają ważną właściwość: wynik różniczkowania nie zależy od kolejności różniczkowania (np. 
). Udowodnijmy to stwierdzenie.
Twierdzenie 3.3.
Jeśli funkcja z
=
F
(X,
y)
i jego pochodne cząstkowe 
określona i ciągła w punkcie M (x, y) i w niektórych jego okolicach, a następnie w tym momencie
(3.3)
Konsekwencja. Właściwość ta obowiązuje dla pochodnych dowolnego rzędu i dla funkcji dowolnej liczby zmiennych.
Rozważ szeroko rozpowszechniony problem o przybliżonym obliczeniu wartości funkcji za pomocą różniczki.
Tutaj i poniżej skupimy się na różniczkach pierwszego rzędu; dla zwięzłości często będziemy mówić po prostu „różniczka”. Problem przybliżonych obliczeń za pomocą różnicy ma sztywny algorytm rozwiązania, dlatego nie powinno być żadnych szczególnych trudności. Jedyną rzeczą jest to, że są małe pułapki, które również zostaną oczyszczone. Więc nie krępuj się nurkować z głową.
Ponadto rozdział zawiera wzory do znajdowania błędów bezwzględnych i względnych obliczeń. Materiał jest bardzo przydatny, ponieważ błędy muszą być obliczane również w innych zadaniach.
Aby pomyślnie opanować przykłady, musisz być w stanie znaleźć pochodne funkcji przynajmniej na średnim poziomie, więc jeśli różniczkowanie jest całkowicie błędne, zacznij od znalezienie pochodnej w punkcie i z znalezienie różnicy w punkcie. Ze środków technicznych będziesz potrzebować mikrokalkulatora z różnymi funkcjami matematycznymi. Możesz skorzystać z możliwości MS Excel, ale w tym przypadku jest to mniej wygodne.
Lekcja składa się z dwóch części:
– Przybliżone obliczenia z wykorzystaniem różniczki wartości funkcji jednej zmiennej w punkcie.
– Przybliżone obliczenia z wykorzystaniem całkowitej różniczki wartości funkcji dwóch zmiennych w punkcie.
Rozważane zadanie jest ściśle związane z pojęciem różniczki, ale ponieważ nie mamy jeszcze lekcji na temat znaczenia pochodnej i różniczki, ograniczymy się do formalnego rozważenia przykładów, które są wystarczające do nauczenia się jak je rozwiązać.
Przybliżone obliczenia z wykorzystaniem różniczki funkcji jednej zmiennej
W pierwszym akapicie funkcja jednej zmiennej rządzi. Jak wszyscy wiedzą, jest oznaczony przez y lub przez F(X). W przypadku tego problemu znacznie wygodniej jest użyć drugiej notacji. Przejdźmy do popularnego przykładu, który często pojawia się w praktyce:
Przykład 1
Rozwiązanie: Proszę przepisać do zeszytu wzór roboczy do przybliżonego obliczenia z wykorzystaniem różniczki:
Zaczynajmy, to proste!
Pierwszym krokiem jest utworzenie funkcji. Warunkowo proponuje się obliczyć pierwiastek sześcienny liczby: , więc odpowiednia funkcja ma postać: .
Musimy użyć wzoru, aby znaleźć przybliżoną wartość.
Patrzymy na lewa strona formuły i przychodzi mi do głowy myśl, że liczba 67 musi być przedstawiona jako . Jak to zrobić najłatwiej? Polecam następujący algorytm: obliczyć tę wartość na kalkulatorze:
- okazało się, że 4 z ogonem, to ważna wskazówka dla rozwiązania.
Jak X 0 wybierz „dobrą” wartość, aby wydobyć korzeń. Oczywiście ta wartość X 0 powinno być tak blisko jak to możliwe do 67.
W tym przypadku X 0 = 64. Rzeczywiście, .
Uwaga: w przypadku wyboruX 0 problem nadal występuje, wystarczy spojrzeć na obliczoną wartość (w tym przypadku 
), weź najbliższą część całkowitą (w tym przypadku 4) i podnieś ją do żądanej potęgi (w tym przypadku ). W rezultacie zostanie dokonany żądany wybór. X 0 = 64.
Jeśli X 0 = 64, to przyrost argumentu wynosi: .
Tak więc liczba 67 jest reprezentowana jako suma 
Najpierw obliczamy wartość funkcji w punkcie X 0 = 64. Właściwie zostało to już zrobione wcześniej:
Różniczkę w punkcie można znaleźć według wzoru:
Możesz również skopiować tę formułę do zeszytu.
Ze wzoru wynika, że musisz wziąć pierwszą pochodną:
I znajdź jego wartość w punkcie X 0:
.
Zatem:
Wszystko jest gotowe! Zgodnie ze wzorem:
Znaleziona przybliżona wartość jest dość zbliżona do wartości 4,06154810045 obliczonej za pomocą mikrokalkulatora.
Odpowiedź:
Przykład 2
Oblicz w przybliżeniu , zastępując przyrosty funkcji jej różniczką.
To jest przykład zrób to sam. Zgrubny przykład pracy wykończeniowej i odpowiedź na koniec lekcji. Początkującym polecam najpierw obliczyć dokładną wartość na mikrokalkulatorze, aby dowiedzieć się, jaką liczbę wziąć X 0 , a który dla Δ X. Należy zauważyć, że Δ X w tym przykładzie będzie ujemna.
Niektórzy mogą mieć pytanie, po co to zadanie jest potrzebne, skoro można spokojnie i dokładniej wszystko policzyć na kalkulatorze? Zgadzam się, zadanie jest głupie i naiwne. Ale spróbuję to trochę uzasadnić. Po pierwsze, zadanie ilustruje znaczenie różniczki funkcji. Po drugie, w czasach starożytnych kalkulator był czymś w rodzaju osobistego helikoptera w naszych czasach. Sam widziałem, jak gdzieś w latach 1985-86 wyrzucono komputer wielkości pokoju z jednego z instytutów (radioamatorzy ze śrubokrętami zbiegli się z całego miasta i po kilku godzinach z jednostki została tylko obudowa ). Antyki znaleziono również na naszym wydziale fizyki, jednak w mniejszym rozmiarze - gdzieś mniej więcej wielkości biurka. Tak cierpieli nasi przodkowie metodami obliczeń przybliżonych. Powóz konny to także środek transportu.
Tak czy inaczej problem pozostał w standardowym kursie matematyki wyższej i będzie musiał zostać rozwiązany. To jest główna odpowiedź na twoje pytanie =).
Przykład 3
Oblicz w przybliżeniu korzystając z różnicy wartość funkcji 
w punkcie X= 1,97. Oblicz dokładniejszą wartość funkcji w punkcie X= 1,97 za pomocą mikrokalkulatora oceń bezwzględne i względne błędy obliczeń.
W rzeczywistości zadanie to można łatwo przeformułować w następujący sposób: „Oblicz przybliżoną wartość 
z mechanizmem różnicowym
Rozwiązanie: Korzystamy ze znanej formuły:
W takim przypadku podana jest już gotowa funkcja: 
. Jeszcze raz zwracam uwagę na fakt, że wyznaczenie funkcji zamiast „gry” jest wygodniejsze w użyciu F(X).
Oznaczający X= 1,97 musi być reprezentowane jako X 0 = Δ X. Cóż, tutaj jest łatwiej, widzimy, że liczba 1,97 jest bardzo blisko „dwójki”, więc błaga X 0 = 2. A zatem: .
Oblicz wartość funkcji w punkcie X 0 = 2:
Korzystając z formuły , obliczamy różniczkę w tym samym punkcie.
Znalezienie pierwszej pochodnej:
I jego wartość w punkcie X 0 = 2:
Zatem różniczka w punkcie:
W rezultacie, zgodnie ze wzorem:
Druga część zadania polega na znalezieniu bezwzględnego i względnego błędu obliczeń.
AleΔ y = Δ F(X 0) to przyrost funkcji, a F (X 0) Δ x = df(X 0) jest różniczką funkcji.
Dlatego w końcu dostajemy
Twierdzenie 1. Niech funkcja y = f(X) w punkcie x 0 ma skończoną pochodną f (X 0)≠0. Następnie dla wystarczająco małych wartości Δ x zachodzi przybliżona równość (1), która staje się arbitralnie dokładna dla Δ X→ 0.
Zatem różniczka funkcji w punkcie X 0 jest w przybliżeniu równe przyrostowi funkcji w tym punkcie.
Ponieważ wtedy z równości (1) otrzymujemy
Na Δ X→ 0 (2)
Na X→ X 0 (2 )
Od równania stycznej do wykresu funkcji y= F(X) w punkcie X 0 ma postać
To przybliżone równości (1)-(2) geometrycznie oznaczają, że w pobliżu punktu x=x 0 wykres funkcji y \u003d f(X) jest w przybliżeniu zastąpiony przez styczną do krzywej y = f(X).
Dla wystarczająco małych wartości całkowity przyrost funkcji i różniczka różnią się nieznacznie, tj. . Ta okoliczność jest używana do przybliżonych obliczeń.
Przykład 1 Oblicz w przybliżeniu .
Rozwiązanie. Rozważ funkcję i zestaw X 0 = 4, X= 3,98. Następnie Δ X =X –X 0 = – 0,02, F(X 0)= 2. Skoro , to F (X 0)=1/4=0,25. Zatem zgodnie ze wzorem (2) ostatecznie otrzymujemy: .
Przykład 2 Korzystając z różniczki funkcji, określ, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość funkcji y=F(X)=(3X 3 +5)∙tg4 X zmniejszając wartość swojego argumentu X 0 = 0 o 0,01.
Rozwiązanie. Na mocy (1) zmiana funkcji y = f(X) w punkcie X 0 jest w przybliżeniu równe różnicy funkcji w tym punkcie dla wystarczająco małych wartości D X:
Oblicz różniczkę funkcji df(0). mamy D X= -0,01. Ponieważ F (X)= 9X 2 tg4 X + ((3X 3 +5)/ cos 2 4 X)∙4, w takim razie F (0)=5∙4=20 i df(0)=F (0)∙Δ X= 20 (–0,01) = –0,2.
Dlatego Δ F(0) ≈ –0,2, tj. przy zmniejszaniu wartości X 0 = 0 argument funkcji przez samą wartość funkcji 0,01 y=F(X) zmniejszy się o około 0,2.
Przykład 3 Niech funkcja popytu na produkt będzie . Wymagane jest znalezienie ilości popytu na produkt po cenie P 0 \u003d 3 den. i ustal, o ile w przybliżeniu wzrośnie popyt przy spadku ceny towarów o 0,2 jednostki pieniężnej.
Rozwiązanie. W cenie P 0 \u003d 3 den. wielkość popytu Q 0 =D(P 0)=270/9=30 jednostek dobra. Zmiana ceny Δ P= -0,2 den. jednostki Ze względu na (1) Δ Q (P 0) ≈ dQ (P 0). Obliczmy różnicę wielkości popytu na produkt.
Od tego czasu D (3) = –20 i
różnica wielkości zapotrzebowania dQ(3) = D (3)∙Δ P= –20 (–0,2) = 4. Zatem Δ Q(3) ≈ 4, tj. gdy cena towaru spada P 0 \u003d 3 na 0,2 jednostki monetarnej. wielkość popytu na produkt wzrośnie o około 4 jednostki towaru i wyniesie około 30 + 4 = 34 jednostki towaru.
Pytania do samokontroli
1. Co nazywa się różniczką funkcji?
2. Jakie jest geometryczne znaczenie różniczki funkcji?
3. Wymień główne własności funkcji różniczkowej.
3. Napisz wzory, które pozwolą Ci znaleźć przybliżoną wartość funkcji za pomocą jej różniczki.
Przybliżona wartość przyrostu funkcji
Dla wystarczająco małych przyrostów funkcja jest w przybliżeniu równa jej różniczce, tj. dy » dy, a zatem
Przykład 2 Znajdź przybliżoną wartość przyrostu funkcji y=, gdy argument x zmieni się z wartości x 0 = 3 na x 1 = 3,01.
Rozwiązanie. Korzystamy ze wzoru (2.3). Aby to zrobić, obliczamy
X 1 - x 0 \u003d 3,01 - 3 \u003d 0,01, a następnie
Do " 
.
Przybliżona wartość funkcji w punkcie
Zgodnie z definicją przyrostu funkcji y = f(x) w punkcie x 0, gdy argument Dx (Dx®0) jest inkrementowany, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) i wzór (3.3) można zapisać
fa(x 0 + Dx) » fa(x 0) + . (3.4)
Szczególnymi przypadkami wzoru (3.4) są wyrażenia:
(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)
ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)
sinDx » Dx (3.4v)
tgDx » Dx (3,4g)
Tutaj, podobnie jak poprzednio, przyjmuje się, że Dx®0.
Przykład 3 Znajdź przybliżoną wartość funkcji f (x) \u003d (3x -5) 5 w punkcie x 1 \u003d 2,02.
Rozwiązanie. Do obliczeń używamy wzoru (3.4). Przedstawmy x 1 jako x 1 = x 0 + Dx. Wtedy x0 = 2, Dx = 0,02.
f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +
f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1
15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15
f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3
Przykład 4 Oblicz (1,01) 5 , , ln(1,02), ln .
Rozwiązanie
1. Skorzystajmy ze wzoru (3.4a). Aby to zrobić, reprezentujemy (1,01) 5 jako (1+0,01) 5 .
Następnie, zakładając, że Dx = 0,01, n = 5, otrzymujemy
(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.
2. Reprezentując w postaci (1 - 0,006) 1/6, zgodnie z (3.4a), otrzymujemy
(1 - 0,006) 1/6 "1 + 
.
3. Biorąc pod uwagę, że ln(1,02) = ln(1 + 0,02) i zakładając Dx=0,02, ze wzoru (3.4b) otrzymujemy
ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.
4. Podobnie
ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = 
.
Znajdź przybliżone przyrosty funkcji
155. y = 2x 3 + 5 gdy argument x zmieni się z x 0 = 2 na x 1 = 2,001
156. y \u003d 3x 2 + 5x + 1 dla x 0 \u003d 3 i Dx \u003d 0,001
157. y \u003d x 3 + x - 1 z x 0 \u003d 2 i Dx \u003d 0,01
158. y \u003d ln x przy x 0 \u003d 10 i Dx \u003d 0,01
159. y \u003d x 2 - 2x z x 0 \u003d 3 i Dx \u003d 0,01
Znajdź przybliżone wartości funkcji
160. y \u003d 2x 2 - x + 1 przy x 1 \u003d 2,01
161. y \u003d x 2 + 3x + 1 przy x 1 \u003d 3,02
162.y= 
w punkcie x 1 = 1,1
163. y \u003d w punkcie x 1 \u003d 3,032
164. y \u003d w punkcie x 1 \u003d 3,97
165. y \u003d grzech 2x przy x 1 \u003d 0,015
Oblicz w przybliżeniu
166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3
169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4
172. 173. 174.
175. 176. 177.
178 ln(1,003×e) 179 ln(1,05) 5 180 ln
181.ln0,98 182.ln 183.ln(e 2 × 0,97)
Odkrywanie funkcji i kreślenie
Oznaki monotoniczności funkcji
Twierdzenie 1 (warunek konieczny dla funkcji rosnących (malejących)) . Jeśli funkcja różniczkowalna y = f(x), xн(a; b) rośnie (maleje) na przedziale (a; b), to dla dowolnego x 0 н(a; b).
Twierdzenie 2 (warunek wystarczający dla funkcji rosnących (malejących)) . Jeśli funkcja y = f(x), xн(a; b) ma dodatnią (ujemną) pochodną w każdym punkcie przedziału (a; b), to ta funkcja rośnie (maleje) w tym przedziale.
Ekstrema funkcji
Definicja 1. Punkt x 0 nazywany jest maksymalnym (minimalnym) punktem funkcji y \u003d f (x) jeśli dla wszystkich x z jakiegoś d-sąsiedztwa punktu x 0 nierówność f (x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) dla x ¹ x 0 .
Twierdzenie 3 (Farma) (warunek konieczny istnienia ekstremum) . Jeżeli punkt x 0 jest punktem ekstremalnym funkcji y = f(x) i istnieje w tym punkcie pochodna, to
Twierdzenie 4 (pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum) . Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna w pewnym d-sąsiedztwie punktu x 0 . Następnie:
1) jeżeli pochodna przechodząc przez punkt x 0 zmienia znak z (+) na (-), to x 0 jest punktem maksymalnym;
2) jeżeli pochodna przechodząc przez punkt x 0 zmienia znak z (-) na (+), to x 0 jest punktem minimalnym;
3) jeżeli pochodna nie zmienia znaku przy przechodzeniu przez punkt x 0, to w punkcie x 0 funkcja nie ma ekstremum.
Definicja 2. Nazywa się punkty, w których pochodna funkcji znika lub nie istnieje punkty krytyczne pierwszego rodzaju.
za pomocą pierwszej pochodnej
1. Znajdź dziedzinę definicji D(f) funkcji y = f(x).
3. Znajdź punkty krytyczne pierwszego rodzaju.
4. Umieść punkty krytyczne w dziedzinie D(f) funkcji y = f(x) i wyznacz znak pochodnej w przedziałach, na jakie punkty krytyczne dzielą dziedzinę funkcji.
5. Wybierz punkty maksymalne i minimalne funkcji i oblicz wartości funkcji w tych punktach.
Przykład 1 Zbadaj funkcję y \u003d x 3 - 3x 2 dla ekstremum.
Rozwiązanie. Zgodnie z algorytmem znajdowania ekstremum funkcji za pomocą pierwszej pochodnej mamy:
1. D(f): xn(-¥;¥).
2. 
.
3. 3x 2 - 6x = 0 z x = 0, x = 2 to punkty krytyczne pierwszego rodzaju.
Pochodna przy przechodzeniu przez punkt x = 0
zmienia znak z (+) na (-), więc jest to punkt
Maksymalny. Przechodząc przez punkt x \u003d 2, zmienia znak z (-) na (+), dlatego jest to punkt minimalny.
5. ymax = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.
Maksymalne współrzędne (0; 0).
y min \u003d fa (2) \u003d 2 3 - 3 × 2 2 \u003d -4.
Minimalne współrzędne (2; -4).
Twierdzenie 5 (drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum) . Jeżeli funkcja y = f(x) jest zdefiniowana i dwukrotnie różniczkowalna w jakimś sąsiedztwie punktu x 0 , i , to w punkcie x 0 funkcja f(x) ma maksimum if i minimum if .
Algorytm znajdowania ekstremum funkcji
za pomocą drugiej pochodnej
1. Znajdź dziedzinę definicji D(f) funkcji y = f(x).
2. Oblicz pierwszą pochodną
Pojęcie mechanizmu różnicowego
Niech funkcja y = F(X) jest różniczkowalna dla pewnej wartości zmiennej X. Dlatego w punkcie X istnieje skończona pochodna
Następnie, z definicji granicy funkcji, różnica
jest nieskończenie małą wielkością w . Wyrażając z równości (1) przyrost funkcji, otrzymujemy
(2)
(wartość nie zależy od , tj. pozostaje stała w ).
Jeśli , to po prawej stronie równości (2) pierwszy wyraz jest liniowy względem . Dlatego kiedy
jest nieskończenie mały tego samego rzędu małości co . Drugi człon jest nieskończenie małym rzędem małości wyższego rzędu niż pierwszy, ponieważ ich stosunek dąży do zera w
Mówią więc, że pierwszy wyraz wzoru (2) jest główną, względnie liniową częścią przyrostu funkcji; im mniejszy tym większy udział przyrostu ma ta część. Dlatego dla małych wartości (i dla ) przyrost funkcji można w przybliżeniu zastąpić jej częścią główną, tj.
Ta główna część przyrostu funkcji nazywana jest różniczką danej funkcji w punkcie X i oznaczać
Stąd,
(5)
A więc różniczka funkcji y=f(X) jest równe iloczynowi jego pochodnej i przyrostu zmiennej niezależnej.
Komentarz. Trzeba pamiętać, że jeśli X jest początkową wartością argumentu,
Skumulowana wartość, następnie pochodna w wyrażeniu różnicy jest brana w punkcie początkowym X; we wzorze (5) widać to z zapisu, we wzorze (4) nie.
Różniczkę funkcji można zapisać w innej postaci:
Geometryczne znaczenie różniczki. Różniczka funkcji y=f(X) jest równy przyrostowi rzędnej stycznej poprowadzonej do wykresu tej funkcji w punkcie ( X; y), kiedy to się zmieni X według rozmiaru.
właściwości różniczkowe. Różniczkowa niezmienność kształtu
W tej i następnych sekcjach każda z funkcji będzie uważana za różniczkowalną dla wszystkich rozważanych wartości jej argumentów.
Różniczka ma właściwości podobne do pochodnej:
(C jest wartością stałą) (8)
(9)
(10)
(12)
Wzory (8) - (12) uzyskuje się z odpowiednich wzorów na pochodną mnożąc obie części każdej równości przez .
Rozważ różniczkę funkcji zespolonej. Niech będzie funkcją zespoloną:
Mechanizm różnicowy
tej funkcji, korzystając ze wzoru na pochodną funkcji zespolonej, można zapisać jako
Ale istnieje różnica funkcji, więc
(13)
Tutaj różniczka jest zapisywana w takiej samej postaci jak we wzorze (7), chociaż argumentem nie jest zmienna niezależna, ale funkcja. Zatem wyrażenie różniczki funkcji jako iloczynu pochodnej tej funkcji i różniczki jej argumentu jest ważne niezależnie od tego, czy argumentem jest zmienna niezależna, czy też funkcja innej zmiennej. Ta właściwość nazywa się niezmienność(stałość) postaci różniczki.
Podkreślamy, że we wzorze (13) nie można zastąpić przez , ponieważ
dla dowolnej funkcji oprócz liniowej.
Przykład 2 Napisz różniczkę funkcji
na dwa sposoby, wyrażając to: przez różniczkę zmiennej pośredniej i przez różniczkę zmiennej X. Sprawdź, czy otrzymane wyrażenia są zgodne.
Rozwiązanie. Włóżmy
a różniczkę można zapisać jako
Podstawiając do tej równości
dostajemy
Zastosowanie różniczki w obliczeniach przybliżonych
Przybliżona równość ustalona w pierwszej sekcji
umożliwia wykorzystanie różniczki do przybliżonych obliczeń wartości funkcji.
Napiszmy przybliżoną równość bardziej szczegółowo. Ponieważ
Przykład 3 Korzystając z pojęcia różniczki, oblicz w przybliżeniu ln 1,01.
Rozwiązanie. Liczba ln 1.01 jest jedną z wartości funkcji y= ln X. Formuła (15) w tym przypadku przyjmuje postać
Stąd,
co jest bardzo dobrym przybliżeniem: wartość tablicowa ln 1,01 = 0,0100.
Przykład 4 Korzystając z pojęcia różniczki, oblicz w przybliżeniu
Rozwiązanie. Numer
jest jedną z wartości funkcji
Ponieważ pochodna tej funkcji
wówczas formuła (15) przyjmuje postać
dostajemy
(wartość tabeli
).
Korzystając z przybliżonej wartości liczby, musisz być w stanie ocenić stopień jej dokładności. W tym celu obliczane są jego błędy bezwzględne i względne.
Błąd bezwzględny liczby przybliżonej jest równy wartości bezwzględnej różnicy między liczbą dokładną a jej wartością przybliżoną:
Błąd względny przybliżonej liczby to stosunek błędu bezwzględnego tej liczby do wartości bezwzględnej odpowiadającej jej dokładnej liczby:
Mnożąc przez 4/3, znajdujemy
Przyjmowanie wartości głównej tabeli
dla dokładnej liczby szacujemy za pomocą wzorów (16) i (17) bezwzględne i względne błędy przybliżonej wartości:
