KLASYFIKACJA ZWIĄZKÓW
Pojęcie połączeń wprowadzone w § 3 nie obejmuje wszystkich ich rodzajów. Ponieważ nawet rozważane metody rozwiązywania problemów w mechanice mają generalnie zastosowanie do układów nie posiadających żadnych ograniczeń, rozważmy nieco bardziej szczegółowo kwestię wiązań i ich klasyfikacji.
Powiązania to wszelkiego rodzaju ograniczenia, które są nakładane na pozycje i prędkości punktów układu mechanicznego i są realizowane niezależnie od tego, jakie siły działają na układ. Zobaczmy, jak te połączenia są klasyfikowane.
Relacje, które nie zmieniają się w czasie, nazywane są stacjonarnymi, a te, które zmieniają się w czasie, nazywane są niestacjonarnymi.
Łącza, które nakładają ograniczenia na pozycje (współrzędne) punktów układu, nazywane są geometrycznymi, a te, które również nakładają ograniczenia na prędkości (pierwsze pochodne współrzędnych względem czasu) punktów układu, nazywane są kinematyczny lub różnicowy.
Jeśli połączenie różniczkowe można przedstawić jako geometryczne, tj. zależność między prędkościami ustanowionymi przez to połączenie można sprowadzić do zależności między współrzędnymi, to takie połączenie nazywa się całkowalnym, a inaczej - niecałkowalnym.
Geometryczne i całkowalne więzy różniczkowe nazywane są więzami golonomicznymi, a niecałkowalne więzy różniczkowe nazywane są nieholonomicznymi.
Ze względu na rodzaj ograniczeń systemy mechaniczne dzielą się również na holonomiczne (z ograniczeniami holonomicznymi) i nieholonomiczne (zawierające ograniczenia nieholonomiczne).
Wreszcie rozróżniają wiązania ograniczające (nałożone przez nie ograniczenia są zachowane w dowolnej pozycji systemu) i nieoporowe, które nie posiadają tej właściwości (jak mówią, system może „uwolnić się” od takich wiązań) . Rozważ przykłady.
1. Wszystkie więzy rozważane w § 3 są geometryczne (holonomiczne), a ponadto stacjonarne. Ruchoma lnft pokazana na ryc. 271, a, będzie dla leżącego w nim ładunku, przy uwzględnieniu położenia ładunku względem osi Ox, niestacjonarne połączenie geometryczne (podłoga kabiny realizująca połączenie zmienia swoje położenie w przestrzeni w czasie) .
2 Położenie koła toczącego się bez poślizgu (patrz rys. 328) jest określone przez współrzędną środka C koła i kąt obrotu. Podczas toczenia warunek lub
Jest to połączenie różniczkowe, ale wynikowe równanie jest całkowane i daje , tj. sprowadza się do związku między współrzędnymi. Dlatego nałożone ograniczenie jest holonomiczne.
3. W przeciwieństwie do koła dla piłki toczącej się bez poślizgu po nierównej płaszczyźnie, warunek, że prędkość punktu styku piłki z płaszczyzną wynosi zero, nie może być zmniejszony (gdy środek piłki nie porusza się po prostej prostej) do pewnych zależności między współrzędnymi określającymi położenie kuli. To jest przykład wiązania bez halojomu. Innym przykładem są ograniczenia nałożone na kontrolowany ruch. Na przykład, jeśli na ruch punktu (rakiety) zostanie nałożony warunek (sprzężenie), że jego prędkość w dowolnym momencie czasu musi być skierowana do innego poruszającego się punktu (samolotu), to warunku tego nie można sprowadzić do żadnej zależności między współrzędnymi albo, a ograniczenie jest nieholonomiczne.
4. W § 3 połączenia pokazane na rys. trzymają, a na ryc. 8 i 9 - nieotrzymujące się (na ryc. 8 kulka może opuścić powierzchnię, a na ryc. 9 - poruszać się w kierunku punktu A, miażdżąc nitkę). Biorąc pod uwagę specyfikę obligacji niezabezpieczonych, napotkaliśmy problemy 108, 109 (§ 90) i 146 (§ 125).
Przejdźmy do rozważenia jeszcze jednej zasady mechaniki, która określa ogólny warunek równowagi układu mechanicznego. Przez równowagę (patrz § 1) rozumiemy stan układu, w którym wszystkie jego punkty pod działaniem przyłożonych sił znajdują się w spoczynku względem inercjalnego układu odniesienia (rozważamy tzw. równowagę „absolutną”). Jednocześnie będziemy uważać całą komunikację nałożoną na system za stacjonarną i nie będziemy tego wyraźnie określać za każdym razem w przyszłości.
Wprowadźmy pojęcie pracy możliwej jako elementarnej pracy, jaką siła działająca na punkt materialny mogłaby wykonać przy przemieszczeniu, które pokrywa się z możliwym przemieszczeniem tego punktu. Możliwą pracę siły czynnej oznaczymy symbolem , a możliwą pracę reakcji wiązania N symbolem
Podajmy teraz ogólną definicję pojęcia wiązań idealnych, z której już korzystaliśmy (patrz § 123): wiązania nazywamy idealnymi, jeśli suma elementarnych prac ich reakcji na dowolne możliwe przemieszczenie układu jest równa zeru , tj.
Podany w § 123 i wyrażony przez równość (52) warunek idealności wiązań, gdy są one jednocześnie stacjonarne, odpowiada definicji (98), ponieważ w przypadku wiązań stacjonarnych każde rzeczywiste przemieszczenie pokrywa się z jednym z możliwych. Dlatego przykładami połączeń idealnych będą wszystkie przykłady podane w § 123.
Aby określić niezbędny warunek równowagi, udowodnimy, że jeśli układ mechaniczny z idealnymi więzami jest w równowadze dzięki działaniu przyłożonych sił, to dla każdego możliwego przemieszczenia układu równość
gdzie jest kątem między siłą a możliwym przemieszczeniem.
Wyznaczmy odpowiednio wypadkowe wszystkich (zewnętrznych i wewnętrznych) sił czynnych i reakcji połączeń działających na jakiś punkt układu przez . Wtedy, ponieważ każdy z punktów układu jest w równowadze, a co za tym idzie, suma pracy tych sił dla dowolnego ruchu punktu będzie również równa zeru, tj. Zestawiając takie równości dla wszystkich punktów układu i dodając je termin po terminie, otrzymujemy
Ponieważ jednak połączenia są idealne, reprezentują możliwe przemieszczenia punktów układu, więc druga suma zgodnie z warunkiem (98) będzie równa zeru. Wówczas pierwsza suma jest również równa zeru, tj. zachodzi równość (99). Udowodniliśmy zatem, że równość (99) wyraża warunek konieczny równowagi systemu.
Pokażmy, że warunek ten jest również wystarczający, tj. jeżeli do punktów spoczynkowego układu mechanicznego przyłożymy siły czynne spełniające równanie (99), to układ ten pozostanie w spoczynku. Załóżmy, że jest odwrotnie, tj. że układ zacznie się poruszać i niektóre jego punkty wykonają rzeczywiste przemieszczenia. Wtedy siły wykonają pracę na tych przemieszczeniach i zgodnie z twierdzeniem o zmianie energii kinetycznej będzie to:
gdzie, oczywiście, ponieważ system był początkowo w spoczynku; stąd i . Ale przy stacjonarnych ograniczeniach rzeczywiste przemieszczenia pokrywają się z niektórymi możliwymi przemieszczeniami, a te przemieszczenia muszą mieć również coś, co jest sprzeczne z warunkiem (99). Zatem, gdy przyłożone siły spełniają warunek (99), układ nie może wyjść ze stanu spoczynku, a warunek ten jest warunkiem wystarczającym dla równowagi.
Z udowodnionego wynika następująca zasada możliwych przemieszczeń: dla równowagi układu mechanicznego z idealnymi połączeniami konieczne i wystarczające jest, aby suma elementarnych prac wszystkich działających na niego sił czynnych dla dowolnego możliwego przemieszczenia układu była równa do zera. Matematycznie sformułowany warunek równowagi wyraża równość (99), zwana też równaniem miejsc pracy. Równość tę można również przedstawić w formie analitycznej (zob. § 87):
Zasada możliwych przemieszczeń ustala ogólny warunek równowagi układu mechanicznego, który nie wymaga uwzględniania równowagi poszczególnych części (ciał) tego układu i pozwala, przy idealnych wiązaniach, wykluczyć z rozważań wszystkie wcześniej nieznane reakcje obligacje.
Elementy mechaniki analitycznej
Natura ludzka w swoich próbach poznania otaczającego świata dąży do zredukowania systemu wiedzy w danej dziedzinie do jak najmniejszej liczby pozycji wyjściowych. Dotyczy to przede wszystkim dziedzin naukowych. W mechanice pragnienie to doprowadziło do stworzenia fundamentalnych zasad, z których wynikają podstawowe równania różniczkowe ruchu dla różnych układów mechanicznych. Celem tej części samouczka jest zapoznanie czytelnika z niektórymi z tych zasad.
Rozpocznijmy badanie elementów mechaniki analitycznej od zbadania kwestii klasyfikacji relacji zachodzących nie tylko w statyce, ale także w dynamice.
Klasyfikacja relacji
Połączenie – wszelkiego rodzaju ograniczenia nałożone na pozycje i prędkości punktów układu mechanicznego.
Relacje są klasyfikowane:
Przez zmianę w czasie:
- łączność niestacjonarna, te. zmieniające się w czasie. Przykładem połączenia niestacjonarnego jest podpora poruszająca się w przestrzeni.
- łączność stała, te. nie zmienia się w czasie.Łącza stacjonarne obejmują wszystkie łącza omówione w sekcji „Statyka”.
Według rodzaju nałożonych ograniczeń kinematycznych:
- połączenia geometryczne nałożyć ograniczenia na pozycje punktów w systemie;
- kinematyczny, Lub połączenia różnicowe nałożyć ograniczenia na prędkość punktów w systemie. Jeśli to możliwe, zredukuj jeden rodzaj relacji do innego:
- integrowalny, Lub holonomiczny(prosty) połączenie, jeśli połączenie kinematyczne (różnicowe) można przedstawić jako geometryczne. W takich połączeniach zależności między prędkościami można sprowadzić do zależności między współrzędnymi. Walec toczący się bez poślizgu jest przykładem całkowalnego więzu różniczkowego: prędkość osi cylindra jest związana z jego prędkością kątową za pomocą dobrze znanego wzoru , lub , a po całkowaniu sprowadza się do geometrycznej zależności między przemieszczeniem osi i kąt obrotu cylindra w formie
- niecałkowalne, Lub połączenie nieholonomiczne– jeśli połączenie kinematyczne (różnicowe) nie może być reprezentowane jako geometryczne. Przykładem jest toczenie się piłki bez poślizgu podczas jej ruchu nieprostoliniowego.
Jeśli to możliwe, „zwolnij” z komunikacji:
- trzymając krawaty, pod którym nałożone przez nie ograniczenia są zawsze zachowane, na przykład wahadło zawieszone na sztywnym pręcie;
- więzi nietrwałe - ograniczenia mogą zostać naruszone dla określonego rodzaju ruchu systemu, na przykład wahadło zawieszone na zmiętej nici.
Wprowadźmy kilka definicji.
· Możliwy(Lub wirtualny) poruszający(oznaczone) jest elementarny (nieskończenie mały) i jest taki, że nie narusza ograniczeń nałożonych na system.
Przykład: punkt znajdujący się na powierzchni ma możliwie zbiór elementarnych przemieszczeń w dowolnym kierunku wzdłuż powierzchni odniesienia, bez odrywania się od niej. Ruch punktu, prowadzący do jego oderwania od powierzchni, zrywa połączenie i zgodnie z definicją nie jest ruchem możliwym.
W przypadku układów stacjonarnych zwykłe rzeczywiste (rzeczywiste) przemieszczenie elementarne jest zawarte w zbiorze przemieszczeń możliwych.
· Liczba stopni swobody układu mechanicznego – jest liczbą jego niezależnych możliwych przemieszczeń.
Tak więc, kiedy punkt porusza się po płaszczyźnie, każdy możliwy ruch tego punktu jest wyrażany w kategoriach jego dwóch ortogonalnych (a zatem niezależnych) składowych.
W przypadku układu mechanicznego z ograniczeniami geometrycznymi liczba niezależnych współrzędnych określających położenie układu pokrywa się z liczbą jego stopni swobody.
Zatem punkt na płaszczyźnie ma dwa stopnie swobody. Swobodny punkt materialny - trzy stopnie swobody. Wolne ciało ma sześć (dodane są obroty pod kątem Eulera) itd.
· Możliwa praca – jest elementarną pracą siły nad możliwym przemieszczeniem.
Zasada możliwych ruchów
Jeżeli układ jest w równowadze, to dla dowolnego jego punktu zachodzi równość, gdzie są wypadkowe sił czynnych i sił reakcji działających na punkt. Wtedy suma pracy tych sił dla dowolnego przemieszczenia jest również równa zeru 
. Sumując wszystkie punkty, otrzymujemy: 
. Drugi człon idealnych wiązań jest równy zeru, skąd formułujemy zasada możliwych ruchów
:
| . | (3.82) |
W warunkach równowagi układu mechanicznego o idealnych połączeniach suma prac elementarnych wszystkich działających na niego sił czynnych dla dowolnego możliwego przemieszczenia układu jest równa zeru.
Wartość zasady możliwych przemieszczeń polega na sformułowaniu warunków równowagi dla układu mechanicznego (3.81), w którym nie występują nieznane reakcje wiązań.
PYTANIA DO SAMODZIELNEGO SPRAWDZENIA
1. Jaki ruch punktu nazywa się możliwym?
2. Co nazywamy możliwą pracą siły?
3. Sformułuj i zapisz zasadę możliwych ruchów.
zasada d'Alemberta
Przepiszmy równanie dynamiki Do punkt układu mechanicznego (3.27), przenosząc lewą stronę na prawą. Weźmy pod uwagę ilość
Siły w równaniu (3.83) tworzą zrównoważony układ sił.
Rozciągając ten wniosek na wszystkie punkty układu mechanicznego, dochodzimy do sformułowania zasada d'Alemberta, nazwany na cześć francuskiego matematyka i mechanika Jeana Lerona D'Alemberta (1717–1783), ryc. 3.13:
Ryc.3.13
Jeśli wszystkie siły bezwładności dodamy do wszystkich sił działających w danym układzie mechanicznym, to powstały układ sił będzie zrównoważony i można do niego zastosować wszystkie równania statyki.
W rzeczywistości oznacza to, że z układu dynamicznego, dodając siły bezwładności (siły D'Alemberta), przechodzi się do układu pseudostatycznego (prawie statycznego).
Korzystając z zasady d'Alemberta, można uzyskać oszacowanie główny wektor sił bezwładności I główny moment bezwładności względem środka Jak:
Reakcje dynamiczne działające na oś wirującego ciała
Rozważ ciało sztywne obracające się ruchem jednostajnym z prędkością kątową ω
wokół osi zamocowanej w łożyskach A i B (ryc. 3.14). Połączmy z ciałem obracające się z nim osie Axyz; zaletą takich osi jest to, że względem nich współrzędne środka masy i momenty bezwładności ciała będą stałymi wartościami. Niech podane siły działają na ciało. Oznaczmy rzuty głównego wektora wszystkich tych sił na oś Axyz przez
(
itp.), A ich główne momenty wokół tych samych osi - przez
( 
itp.); tymczasem, bo ω
= stała, zatem =
0.
Ryc.3.14
Wyznaczanie odpowiedzi dynamicznych X A, Y A, Z A, X B , Y Błożyska, tj. reakcje zachodzące podczas obrotu ciała dodajemy do wszystkich podanych sił działających na ciało i reakcje wiązań siły bezwładności wszystkich cząstek ciała, doprowadzając je do środka A. Wtedy siły bezwładności będzie reprezentowany przez jedną siłę równą
i zastosowana w punkcie A ,
i parę sił o momencie równym 
.
Rzuty tego momentu na oś Do I Na będzie: 
, 
;
tu ponownie ,
ponieważ ω
= stała
Teraz układając równania (3.86) zgodnie z zasadą d’Alemberta w rzutach na oś Axyz i ustalając AB =b, dostajemy
 .
| (3.87) |
Ostatnie równanie 
jest spełniony identycznie, ponieważ 
.
Główny wektor sił bezwładności , Gdzie T - masa ciała (3,85). Na ω =const środek masy C ma tylko przyspieszenie normalne , gdzie jest odległością punktu C od osi obrotu. Dlatego kierunek wektora pokrywają się z kierunkiem OS . Obliczanie projekcji na osiach współrzędnych i biorąc pod uwagę, że , gdzie - współrzędne środka masy, znajdujemy:
Aby określić i , rozważmy pewną cząstkę ciała o masie M k, oddalone od osi na odległość hk. Dla niej o godz ω
=const siła bezwładności również ma tylko składową odśrodkową 
,
których rzuty, jak również wektory R", są równe.
Rysunek 2.4
Rozwiązanie
Zastąpmy rozłożone obciążenie siłą skupioną Q = qDH. Siła ta jest przykładana w środku segmentu D.H.- w punkcie Ł.
Wytrzymałość F rozłożyć na składowe, rzutując na oś: poziomą F x cosα i pionowe F y sinα.
Rysunek 2.5
Aby rozwiązać problem, korzystając z zasady możliwych przemieszczeń, konieczne jest, aby konstrukcja mogła się poruszać i jednocześnie aby w równaniu pracy była jedna nieznana reakcja. We wsparciu A Reakcja jest podzielona na składniki. X A, Y A.
Do ustalenia X A zmienić projekt podpory A tak, że punkt A mógł poruszać się tylko w poziomie. Przemieszczenia punktów konstrukcji wyrażamy poprzez możliwy obrót części CDB wokół kropki B na rogu δφ 1, Część AKC konstrukcja w tym przypadku obraca się wokół punktu C V1- chwilowy środek obrotu (Rysunek 2.5) o kąt δφ 2 i ruchomych punktów Ł I C- będzie
δS L = BL∙δφ 1 ;
δS do = BC∙δφ 1.
W tym samym czasie
δS do = CC V1 ∙δφ 2
δφ 2 = δφ 1 ∙BC/CC V1.
Wygodniej jest ułożyć równanie pracy poprzez pracę momentów danych sił względem środków obrotu.
Q∙BL∙δφ 1 + F x ∙BH∙δφ 1 + F y ∙ED∙δφ 1 +
+ M∙δφ 2 — X ZA ∙AC V1 ∙δφ 2 = 0.
Reakcja Y A nie wykonuje pracy. Przekształcając to wyrażenie, otrzymujemy
Q∙(BH + DH/2)∙δφ 1 + F∙cosα∙BD∙δφ 1 +
+ F∙sinα∙DE∙δφ 1 + M∙δφ 1 ∙BC/CC V1 —
— X A ∙AC V1 ∙δφ 1 ∙BC/CC V1 = 0.
Zmniejszenie o δφ 1, otrzymujemy równanie, z którego łatwo je znaleźć X A.
Do ustalenia Y A konstrukcja nośna A zmienić tak, aby podczas przesuwania punktu A tylko siła wykonała pracę Y A(Rysunek 2.6). Przyjmijmy za możliwe przemieszczenie części konstrukcji bdc obrót wokół stałego punktu B — δφ 3.
Rysunek 2.6
Za punkt C δS do = BC∙δφ 3, chwilowy środek obrotu części konstrukcji AKC będzie punkt C V2 i przesuwając punkt C wyrażone.
Przejdźmy do rozważenia innej zasady mechaniki, która ustanawia ogólny warunek równowagi układu mechanicznego. Przez równowagę (patrz § 1) rozumiemy stan układu, w którym wszystkie jego punkty pod działaniem przyłożonych sił znajdują się w spoczynku względem inercjalnego układu odniesienia (rozważamy tzw. równowagę „absolutną”). Jednocześnie będziemy uważać całą komunikację nałożoną na system za stacjonarną i nie będziemy tego wyraźnie określać za każdym razem w przyszłości.
Wprowadźmy pojęcie pracy możliwej jako elementarnej pracy, jaką siła działająca na punkt materialny mogłaby wykonać przy przemieszczeniu, które pokrywa się z możliwym przemieszczeniem tego punktu. Możliwą pracę siły czynnej oznaczymy symbolem , a możliwą pracę reakcji wiązania N symbolem
Podajmy teraz ogólną definicję pojęcia wiązań idealnych, z której już korzystaliśmy (patrz § 123): wiązania nazywamy idealnymi, jeśli suma elementarnych prac ich reakcji na dowolne możliwe przemieszczenie układu jest równa zeru , tj.
Podany w § 123 i wyrażony przez równość (52) warunek idealności wiązań, gdy są one jednocześnie stacjonarne, odpowiada definicji (98), ponieważ w przypadku wiązań stacjonarnych każde rzeczywiste przemieszczenie pokrywa się z jednym z możliwych. Dlatego przykładami połączeń idealnych będą wszystkie przykłady podane w § 123.
Aby określić niezbędny warunek równowagi, udowodnimy, że jeśli układ mechaniczny z idealnymi więzami jest w równowadze dzięki działaniu przyłożonych sił, to dla każdego możliwego przemieszczenia układu równość
gdzie jest kątem między siłą a możliwym przemieszczeniem.
Wyznaczmy odpowiednio wypadkowe wszystkich (zewnętrznych i wewnętrznych) sił czynnych i reakcji połączeń działających na jakiś punkt układu przez . Wtedy, ponieważ każdy z punktów układu jest w równowadze, a co za tym idzie, suma pracy tych sił dla dowolnego ruchu punktu będzie również równa zeru, tj. Zestawiając takie równości dla wszystkich punktów układu i dodając je termin po terminie, otrzymujemy
Ponieważ jednak połączenia są idealne, reprezentują możliwe przemieszczenia punktów układu, więc druga suma zgodnie z warunkiem (98) będzie równa zeru. Wówczas pierwsza suma jest również równa zeru, tj. zachodzi równość (99). Udowodniliśmy zatem, że równość (99) wyraża warunek konieczny równowagi systemu.
Pokażmy, że warunek ten jest również wystarczający, tj. jeżeli do punktów spoczynkowego układu mechanicznego przyłożymy siły czynne spełniające równanie (99), to układ ten pozostanie w spoczynku. Załóżmy, że jest odwrotnie, tj. że układ zacznie się poruszać i niektóre jego punkty wykonają rzeczywiste przemieszczenia. Wtedy siły wykonają pracę na tych przemieszczeniach i zgodnie z twierdzeniem o zmianie energii kinetycznej będzie to:
gdzie, oczywiście, ponieważ system był początkowo w spoczynku; stąd i . Ale przy stacjonarnych ograniczeniach rzeczywiste przemieszczenia pokrywają się z niektórymi możliwymi przemieszczeniami, a te przemieszczenia muszą mieć również coś, co jest sprzeczne z warunkiem (99). Zatem, gdy przyłożone siły spełniają warunek (99), układ nie może wyjść ze stanu spoczynku, a warunek ten jest warunkiem wystarczającym dla równowagi.
Z udowodnionego wynika następująca zasada możliwych przemieszczeń: dla równowagi układu mechanicznego z idealnymi więzami konieczne i wystarczające jest, aby suma elementarnych prac wszystkich działających na niego sił czynnych dla dowolnego możliwego przemieszczenia układu była równa do zera. Matematycznie sformułowany warunek równowagi wyraża równość (99), zwana też równaniem miejsc pracy. Równość tę można również przedstawić w formie analitycznej (zob. § 87):
Zasada możliwych przemieszczeń ustala ogólny warunek równowagi układu mechanicznego, który nie wymaga uwzględniania równowagi poszczególnych części (ciał) tego układu i pozwala, przy idealnych wiązaniach, wykluczyć z rozważań wszystkie wcześniej nieznane reakcje obligacje.
1. Współrzędne uogólnione i liczba stopni swobody.
Kiedy system mechaniczny się porusza, wszystkie jego punkty nie mogą poruszać się dowolnie, ponieważ są ograniczone połączeniami. Oznacza to, że nie wszystkie współrzędne punktu są niezależne. Położenie punktów jest określane poprzez podanie tylko niezależnych współrzędnych.
uogólnione współrzędne. W przypadku układów holonomicznych (to znaczy tych, których połączenia wyrażają równania zależne tylko od współrzędnych), liczba niezależnych uogólnionych współrzędnych układu mechanicznego równa liczbie stopni swobody ten system.
Przykłady:
Położenie wszystkich punktów jest jednoznacznie określone przez kąt obrotu
korba.
Jeden stopień swobody.
2. Położenie dowolnego punktu w przestrzeni jest określone przez trzy niezależne od siebie współrzędne. Dlatego trzy stopnie swobody.
3. Sztywny korpus obrotowy, pozycja określona przez kąt obrotu J . Jeden stopień swobody.
4. Swobodne sztywne ciało, którego ruch jest określony przez sześć równań - sześć stopni swobody.
2. Możliwe przemieszczenia układu mechanicznego.
Idealne połączenia.
Możliwy przemieszczenia to wyimaginowane nieskończenie małe przemieszczenia dozwolone w danym momencie przez ograniczenia nałożone na system. Możliwe przemieszczenia punktów układu mechanicznego są traktowane jako wielkości pierwszego rzędu małości, dlatego krzywoliniowe przemieszczenia punktów są zastępowane odcinkami linii prostych wykreślonymi stycznie do trajektorii punktów i oznaczane dS.
dS ZA = dj . OO
Wszystkie siły działające na punkt materialny są podzielone na dane siły i reakcje więzów.
Jeśli suma pracy reakcji wiązań na dowolne możliwe przemieszczenie układu jest równa zeru, wówczas takie wiązania nazywane są ideał.
3. Zasada możliwych ruchów.
Dla równowagi układu mechanicznego z idealnymi więzami konieczne i wystarczające jest, aby suma elementarnych prac wszystkich działających na niego sił czynnych dla dowolnego możliwego przemieszczenia układu była równa zeru.
Oznaczający zasada możliwych ruchów:
1. Uwzględniane są tylko siły czynne.
2. Podaje w postaci ogólnej warunek równowagi dla dowolnego układu mechanicznego, natomiast w statyce konieczne jest rozważenie równowagi każdego ciała układu z osobna.
Zadanie.
Dla zadanego położenia mechanizmu korbowo-suwakowego w równowadze znajdź zależność między momentem a siłą if OA = ℓ.
Ogólne równanie dynamiki.
Zasada możliwych przemieszczeń zapewnia ogólną metodę rozwiązywania problemów statyki. Z drugiej strony zasada d'Alemberta umożliwia wykorzystanie metod statyki do rozwiązywania problemów dynamiki. Dlatego stosując jednocześnie te dwie zasady, można otrzymać ogólną metodę rozwiązywania problemów dynamiki.
Rozważmy system mechaniczny, na który nałożone są ograniczenia idealne. Jeżeli do wszystkich punktów układu, z wyjątkiem działających na nie sił czynnych i reakcji wiązań, dodamy odpowiadające im siły bezwładności, to zgodnie z zasadą d'Alemberta powstały układ sił będzie w równowadze. Stosując zasadę możliwych przemieszczeń, otrzymujemy:
Ponieważ połączenia są idealne, to:
Ta równość reprezentuje ogólne równanie dynamiki.
Z tego wynika zasada d'Alemberta-Lagrange'a- gdy układ porusza się z ograniczeniami idealnymi w każdym momencie czasu, suma elementarnych prac wszystkich przyłożonych sił czynnych i wszystkich sił bezwładności na dowolny możliwy ruch układu będzie równa zeru.
Zadanie.
W podnośniku zębatym 2 waga 2G z promieniem R2=R zastosowany moment obrotowy M=4GR.
Wyznacz przyspieszenie podniesionego ładunku A ważenie G, pomijając ciężar liny i tarcie w osiach. Bęben, na który nawinięta jest lina, oraz sztywno do niego przymocowana przekładnia 1 , mają całkowitą wagę 4G i promień bezwładności r = R. promień bębna R A = R i koła zębate 1
R1 \u003d 0,5R.
Przedstawmy wszystkie działające siły, kierunek przyspieszeń i możliwe przemieszczenia.
________________
Podstawiamy do ogólnego równania dynamiki
Przemieszczenie wyrażamy za pomocą kąta obrotu δφ 1
Zastąp wartości
δφ 1 ≠0
Wyraźmy wszystkie przyspieszenia w kategoriach pożądanego A i przyrównaj wyrażenie w nawiasie do zera
Zastąp wartości
Zasada możliwych ruchów.
a = 0,15 m
b = 2a = 0,3 m
m = 1,2 Nm _________________
x V; w B; nie dotyczy; Poseł
Rozwiązanie: Znajdźmy reakcję ruchomego wspornika A dlaczego mentalnie odrzucamy to połączenie, zastępując jego działanie reakcją nie dotyczy
Możliwy ruch pręta AC jest jego obrót wokół zawiasu Z na rogu dj. Jądro Słońce pozostaje nieruchomy.
Ułóżmy równanie pracy, biorąc pod uwagę, że praca sił podczas obrotu ciała jest równa iloczynowi momentu siły wokół środka obrotu i kąta obrotu ciała.
Wyznaczanie reakcji mocowania sztywnego w podporze W najpierw znajdź moment reakcji Poseł. Aby to zrobić, odrzucamy wiązanie, które uniemożliwia obracanie się pręta Słońce, zastępując sztywne mocowanie wspornikiem zawiasowo-stałym i stosując moment Poseł .
Powiedz prętowi o możliwym obrocie o kąt dj 1.
Ułóż równanie pracy dla pręta Słońce:
Zdefiniujmy przemieszczenia:
Aby określić składową pionową sztywnej reakcji przypinania, odrzucamy wiązanie, które uniemożliwia ruch punktu w pionie W, zastępując fiksację sztywną ślizgową (nie można jej obrócić) i stosując reakcję :
Poinformujmy lewą stronę (pręt Słońce z suwakiem W) możliwa prędkość V B progresywny ruch w dół. Jądro AC obracać się wokół punktu A .
Ułóżmy równanie prac:
Aby określić poziomą składową reakcji sztywnego zakotwiczenia, odrzucamy wiązanie, które uniemożliwia ruch punktu w poziomie W zamianę zakończenia sztywnego na przesuwne i zastosowanie reakcji:
Poinformujmy lewą stronę (suwak W razem z prętem Słońce) możliwa prędkość V B ruch do przodu w lewo. Od wsparcia A na rolkach, wtedy prawa strona pojedzie do przodu z tą samą prędkością. Stąd 
.
Zróbmy równanie prac dla wszystkich projektów.
Aby sprawdzić poprawność rozwiązania, układamy równania równowagi dla całego układu:
Warunek jest spełniony.
Odpowiedź: y B = -14,2 H; XB = -28,4H; NA = 14,2H; VP \u003d 3,33 Nm.
Uogólnione prędkości. Siły uogólnione.
Nazywa się niezależne wielkości, które jednoznacznie określają położenie wszystkich punktów układu mechanicznego uogólnione współrzędne. – Q
Jeśli system ma S stopni swobody, wtedy zostanie określone jego położenie S uogólnione współrzędne:
q1; q2; …; q s .
Ponieważ uogólnione współrzędne są od siebie niezależne, elementarne przyrosty tych współrzędnych również będą niezależne:
dq 1 ; dq 2 ; …; dq S .
W tym samym czasie każda z ilości dq 1 ; dq 2 ; …; dq S określa odpowiedni, niezależny od innych, możliwy ruch układu.
Kiedy układ się porusza, jego uogólnione współrzędne będą się stale zmieniać w czasie, prawo tego ruchu określają równania:
, …. ,
Są to równania ruchu układu we współrzędnych uogólnionych.
Pochodne uogólnionych współrzędnych względem czasu nazywane są uogólnionymi prędkościami układu:
Wymiar zależy od wymiaru Q.
Rozważmy układ mechaniczny składający się z n punktów materialnych, na które działają siły fa 1 , fa 2 , fa rz. Niech system ma S stopni swobody, a jego położenie jest określone przez współrzędne uogólnione q1; q2; q 3. Powiedzmy systemowi możliwy ruch, w którym współrzędna q 1 dostaje podwyżkę dk 1, a pozostałe współrzędne nie ulegają zmianie. Wtedy wektor promienia k-tego punktu otrzymuje elementarny przyrost (dr k) 1. Jest to przyrost, jaki otrzymuje wektor promienia, gdy zmienia się tylko współrzędna. q 1 według kwoty dk 1. Pozostałe współrzędne pozostają bez zmian. Dlatego (dr k) 1 obliczony jako częściowa różnica:
Obliczmy elementarną pracę wszystkich przyłożonych sił:
Wyjmijmy to z nawiasów dk 1, otrzymujemy:
Gdzie 
- uogólniona władza.
Więc, uogólniona siła – jest współczynnikiem przyrostów uogólnionej współrzędnej.
Obliczenie sił uogólnionych sprowadza się do obliczenia możliwej pracy elementarnej.
Jeśli wszystko się zmieni Q, To:
Zgodnie z zasadą możliwych przemieszczeń, dla równowagi układu jest to konieczne i wystarczające SdA a k = 0. We współrzędnych uogólnionych Q1. dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dqs = 0 stąd, Dla równowaga systemu konieczne i wystarczające jest, aby uogólnione siły odpowiadające możliwym przemieszczeniom wybranym dla układu, a więc współrzędnym uogólnionym, były równe zeru.
Q1 = 0; Q2 = 0; …Qs = 0.
Równania Lagrange'a.
Korzystając z ogólnego równania dynamiki układu mechanicznego, można znaleźć równania ruchu układu mechanicznego.
4) wyznaczyć energię kinetyczną układu, wyrazić tę energię w postaci uogólnionych prędkości i uogólnionych współrzędnych;
5) znaleźć odpowiednie pochodne cząstkowe T dla i i zastąp wszystkie wartości w równaniu.
Teoria wpływu.
Ruch ciała pod działaniem sił zwykłych charakteryzuje się ciągłą zmianą modułów i kierunków prędkości tego ciała. Istnieją jednak przypadki, w których prędkość punktów ciała, a tym samym wielkość ruchu ciała sztywnego w bardzo małym okresie czasu, ulegają skończonym zmianom.
Zjawisko, w którym przez pomijalnie mały okres czasu prędkości punktów ciała zmieniają się o skończoną wartość, nazywamy cios.
siły, pod działaniem których następuje uderzenie to tzw perkusja.
Mały okres czasu T podczas którego następuje uderzenie nazywa się czas uderzenia.
Ponieważ siły uderzenia są bardzo duże i zmieniają się znacznie podczas uderzenia, w teorii uderzenia nie same siły uderzenia, ale ich impulsy są uważane za miarę oddziaływania ciał.
Impulsy sił niezderzeniowych w czasie T są bardzo małe i można je pominąć.
Twierdzenie o zmianie pędu punktu po uderzeniu:
Gdzie w jest prędkością punktu na początku uderzenia,
u jest prędkością punktu na końcu uderzenia.
Podstawowe równanie teorii zderzeń.
Ruch punktów w bardzo krótkim czasie, czyli podczas uderzenia, również będzie niewielki, a zatem ciało uznamy za nieruchome.
Możemy więc wyciągnąć następujące wnioski na temat sił uderzenia:
1) działanie sił niezderzeniowych podczas zderzenia można pominąć;
2) przemieszczenia punktów ciała podczas uderzenia można pominąć, a ciało można uznać za nieruchome podczas uderzenia;