Mechanizm różnicowy funkcja y \u003d ƒ (x) w punkcie x nazywana jest główną częścią jej przyrostu, równą iloczynowi pochodnej funkcji i przyrostu argumentu, i jest oznaczona jako dу (lub dƒ (x)): dy \u003d ƒ "(x) ∆x.
Główne różnice:
Różniczka funkcji ma właściwości podobne do pochodnej.
- Stała różnica równa się zeru:
dc = 0, c = stała. - Różniczka sumy funkcji różniczkowalnych jest równa sumie różnic wyrazów:
Konsekwencja. Jeśli dwie różniczkowalne funkcje różnią się o stały składnik, to ich różniczki są
d(u+c) = du (c= stała).
- zróżnicowanie produktu z dwóch funkcji różniczkowalnych jest równy iloczynowi pierwszej funkcji przez różniczkę drugiej plus iloczyn drugiej funkcji przez różniczkę pierwszej:
d(uv) = udv + vdu.
Konsekwencja. Stały czynnik można wyjąć ze znaku różniczki
d(cu) = cdu (c = const).
- różnica ilorazowa u/v dwóch różniczkowalnych funkcji u = u(x) i v = v(x) jest określone wzorem
- Własność niezależności postaci różniczki od wyboru zmiennej niezależnej (niezmienniczość postaci różniczki): różniczka funkcji jest równa iloczynowi pochodnej i różniczki argumentu, niezależnie od tego, czy ten argument jest zmienną niezależną lub funkcją innej zmiennej niezależnej.
Pochodne i różniczki wyższych rzędów.
Niech pochodna jakiejś funkcji F różniczkowalna. Następnie nazywa się pochodną pochodnej tej funkcji druga pochodna Funkcje F i oznaczone F". Zatem,
F"(X) = (F"(X))" .
Jeśli różniczkowalna ( N- 1)-ta pochodna funkcji F, potem ona N-ta pochodna nazywa się pochodną ( N- 1)-ta pochodna funkcji F i oznaczone f(n). Więc,
f(n)(X) = (f(n-1)(X))" , N ϵ N, f(0)(X) = F(X).
Numer N zwany porządek pochodny.
Mechanizm różnicowy N-te zamówienie Funkcje F nazywa się różniczką od różniczki ( N- 1)-ty rząd tej samej funkcji. Zatem,
d n f(X) = D(d rz -1 F(X)), D 0 F(X) = F(X), N ϵ N.
Jeśli X jest zatem zmienną niezależną
dx= stała i D 2 X = D 3 X = ... = d n x = 0.
W tym przypadku formuła jest poprawna
d n f(X) = F (N) (X)(dx)N.
Pochodne N-ty rząd od podstawowych funkcji elementarnych
Uczciwe formuły
Zastosowanie pochodnych do badania funkcji.
Podstawowe twierdzenia różniczkowe dla funkcji:
Twierdzenie Rolle'a
Niech funkcja F: [A, B] → R jest ciągła na odcinku [ A, B] i ma skończoną lub nieskończoną pochodną wewnątrz tego segmentu. Niech dodatkowo F(A) = F(B). Następnie wewnątrz segmentu [ A, B] jest sedno ξ takie że F"(ξ ) = 0.
Twierdzenie Lagrange'a
Jeśli funkcja F: [A, B] → R jest ciągła na odcinku [ A, B] i ma skończoną lub nieskończoną pochodną w punktach wewnętrznych tego odcinka, to taką, że F(B) - F(A) = F"(ξ )(B - A).
Twierdzenie Cauchy'ego
Jeśli każda z funkcji F I G ciągły na [ A, B] i ma skończoną lub nieskończoną pochodną na ] A, B[ i jeśli dodatkowo pochodna G"(X) ≠ 0 przez ] A, B[, to takie, że formuła
Jeśli jest to dodatkowo wymagane G(A) ≠ G(B), a następnie warunek G"(X) ≠ 0 można zastąpić mniej sztywnym:
1.d C = 0;
2.d( c ty(X)) = C D u(X);
3.d( u(X) ± w(X)) = d u( X)±d w(X);
4.d( u(X) w(X)) = w(X) D u(X) + u(X)dv( X);
5. d( u(X) / w(X)) = (w(X) D u(X) - u(X) D w(X)) / w 2 (X).
Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną właściwość, którą różniczka ma, ale pochodna nie. Rozważmy funkcję y = f(u), gdzie u = φ(x), czyli funkcję zespoloną y = f(φ(x)). Jeżeli każda z funkcji f i φ jest różniczkowalna, to pochodna funkcji zespolonej, zgodnie z twierdzeniem, jest równa y" = f"(u) u". Wtedy różniczka funkcji
dy=f"(X)dx=f”(u)u"dx = f"(u)du,
ponieważ u "dx = du. To znaczy
| dy=f"(u)du. | (6) |
Ostatnia równość oznacza, że wzór różniczkowy nie zmienia się, jeśli zamiast funkcji x rozważymy funkcję zmiennej u. Ta właściwość różniczki nazywa się niezmienniczość postaci pierwszej różniczki.
Komentarz. Zauważmy, że we wzorze (5) dx = ∆ x, a we wzorze (6) du jest tylko częścią liniową przyrostu funkcji u.
Rozważ wyrażenie na pierwszą różnicę
dy=f"(X)dx.
Niech funkcja po prawej stronie będzie funkcją różniczkowalną w danym punkcie x. W tym celu wystarczy, aby y = f ( x ) było dwukrotnie różniczkowalne w danym punkcie x , a argumentem była albo zmienna niezależna, albo funkcja dwukrotnie różniczkowalna.
Różniczka drugiego rzędu
Definicja 1 (różniczka drugiego rzędu). Wartość δ(d y) różniczka pierwszej różniczki (5) dla δ X=d X, nazywa się drugą różniczką funkcji y=f(X) i oznaczone przez d 2 y.
Zatem,
D 2 y=δ ( dy)| δ x = dx .
Różnicówka rz y można wprowadzić przez indukcję.
Definicja 7. Wartość δ(dn-1 y) różniczka od ( N- 1)-ta różniczka dla δ X=d X, jest nazywany N- m funkcja różniczkowa y=f(X) i oznaczone przez dn y.
Znajdź wyrażenie na d 2 y Rozważmy dwa przypadki, w których X- zmienna niezależna i kiedy X = φ( T), czyli jest funkcją zmiennej T.
1. pozwalać X = φ( T), Następnie
D 2 = δ ( dy)| δ x = dx = δ( F"(X)dx)| δ x = dx =
= {δ( F"(X))dx+f"(X)δ( dx)} | δ x = dx =f""(X)(dx) 2 +f”(X)D 2 X.
| D 2 y=f""(X)(dx) 2 +f”(X)D 2 X. | (7) |
2. niech x będzie zatem zmienną niezależną
D 2 y=f""(X)(dx) 2 ,
ponieważ w tym przypadku δ(dx) = (dx)"δ x = 0.
Podobnie przez indukcję łatwo jest otrzymać następujący wzór, jeśli x jest zmienną niezależną:
re n y = fa (N) (X)(dx)N.
Z tego wzoru wynika, że f (n) = d n y/(dx) n .
Podsumowując, zauważamy, że różniczki drugiego i wyższego rzędu nie mają właściwości niezmienniczości, co od razu wynika ze wzoru na różniczkę drugiego rzędu (7).
Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
Całka nieoznaczona.
Funkcję nazywamy funkcją pierwotną w odniesieniu do funkcji, jeśli jest różniczkowalna i warunku
Oczywiście, gdzie C jest dowolną stałą.
Całka nieoznaczona funkcji to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych tej funkcji. Całka nieoznaczona jest oznaczona i równa
24.1. Pojęcie różniczki funkcji
Niech funkcja y=ƒ(x) ma niezerową pochodną w punkcie x.
Następnie, zgodnie z twierdzeniem o połączeniu funkcji, jej granicy i nieskończenie małej funkcji, możemy napisać D y / D x \u003d ƒ "(x) + α, gdzie α → 0 dla ∆x → 0, lub ∆y \u003d ƒ" (x) ∆х+α ∆х.
Zatem przyrost funkcji ∆у jest sumą dwóch wyrazów ƒ "(х) ∆х i a ∆х, które są nieskończenie małe w ∆x→0. W tym przypadku pierwszy wyraz jest nieskończenie małą funkcją ten sam rząd z ∆х, ponieważ 
a drugi wyraz jest nieskończenie małą funkcją wyższego rzędu niż ∆x:
Dlatego nazywa się pierwszy wyraz ƒ "(x) ∆x główna część podwyżki funkcje ∆у.
różniczka funkcji y \u003d ƒ (x) w punkcie x nazywana jest główną częścią jej przyrostu, równą iloczynowi pochodnej funkcji i przyrostu argumentu, i jest oznaczona jako dу (lub dƒ (x)):
dy \u003d ƒ "(x) ∆x. (24,1)
Nazywana jest również różnica dу różnica pierwszego rzędu. Znajdźmy różniczkę zmiennej niezależnej x, czyli różniczkę funkcji y=x.
Skoro y"=x"=1, to zgodnie ze wzorem (24.1) mamy dy=dx=∆x, czyli różniczka zmiennej niezależnej jest równa przyrostowi tej zmiennej: dx=∆x.
Zatem wzór (24.1) można zapisać w następujący sposób:
dy \u003d ƒ "(x) dx, (24,2)
innymi słowy, różniczka funkcji jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji i różniczki zmiennej niezależnej.
Ze wzoru (24.2) wynika równość dy / dx \u003d ƒ "(x). Teraz oznaczenie
pochodną dy/dx można traktować jako stosunek różniczek dy i dx.
<< Пример 24.1
Znajdź różniczkę funkcji ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).
Rozwiązanie: Zgodnie ze wzorem dy \u003d ƒ "(x) dx znajdujemy
dy \u003d (3x 2 -sin (l + 2x)) "dx \u003d (6x-2cos (l + 2x)) dx.
<< Пример 24.2
Znajdź różniczkę funkcji
Oblicz dy dla x=0, dx=0,1.
Rozwiązanie:
Podstawiając x=0 i dx=0,1, otrzymujemy
24.2. Geometryczne znaczenie różniczki funkcji
Znajdźmy geometryczne znaczenie różniczki.
Aby to zrobić, rysujemy styczną MT do wykresu funkcji y \u003d ƒ (x) w punkcie M (x; y) i rozważamy rzędną tej stycznej dla punktu x + ∆x (patrz ryc. 138 ). Na rysunku ½ AM½ =∆x, |AM 1 |=∆y. Z trójkąta prostokątnego MAB mamy:
Ale zgodnie z geometrycznym znaczeniem pochodnej tga \u003d ƒ "(x). Dlatego AB \u003d ƒ" (x) ∆x.
Porównując wynik otrzymany ze wzorem (24.1) otrzymujemy dy=AB, czyli różniczka funkcji y=ƒ(x) w punkcie x jest równa przyrostowi rzędnej stycznej do wykresu funkcji w tym momencie, gdy x otrzymuje przyrost ∆x.
To jest geometryczne znaczenie różniczki.
24.3 Podstawowe twierdzenia różniczkowe
Główne twierdzenia o różniczkach można łatwo uzyskać, korzystając z zależności między różniczką a pochodną funkcji (dy=f"(x)dx) i odpowiadających im twierdzeń o pochodnych.
Na przykład, ponieważ pochodna funkcji y \u003d c jest równa zero, to różnica stałej wartości jest równa zeru: dy \u003d c "dx \u003d 0 dx \u003d 0.
Twierdzenie 24.1. Różniczkę sumy, iloczynu i ilorazu dwóch funkcji różniczkowalnych określają następujące wzory:
Udowodnijmy na przykład drugą formułę. Z definicji różniczki mamy:
d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu
Twierdzenie 24.2. Różniczka funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji względem argumentu pośredniego i różniczki tego argumentu pośredniego.
Niech y=ƒ(u) i u=φ(x) będą dwiema różniczkowalnymi funkcjami tworzącymi funkcję zespoloną y=ƒ(φ(x)). Z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej można napisać
y" x = y" u u" x .
Mnożąc obie części tej równości przez dx, dowiadujemy się y "x dx \u003d y" u u "x dx. Ale y" x dx \u003d dy i u "x dx \u003d du. Dlatego ostatnią równość można przepisać jako co następuje:
dy=y" u du.
Porównując wzory dy=y "x dx i dy=y" u du, widzimy, że pierwsza różniczka funkcji y=ƒ(x) jest wyznaczona przez ten sam wzór, niezależnie od tego, czy jej argumentem jest zmienna niezależna, czy funkcja innego argumentu.
Ta właściwość różnicy nazywana jest niezmienniczością (niezmienniczością) postaci pierwszej różnicy.
Wzór dy \u003d y "x dx z wyglądu pokrywa się ze wzorem dy \u003d y" u du, ale istnieje między nimi zasadnicza różnica: w pierwszym wzorze x jest zmienną niezależną, dlatego dx \u003d ∆x, w drugiej formule i występuje funkcja x , czyli ogólnie du≠∆u.
Za pomocą definicji różniczki i podstawowych twierdzeń o różniczkach łatwo jest przekształcić tablicę pochodnych w tablicę różniczek.
Na przykład: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu
24.4. Tabela różnicowa
24,5. Stosowanie różnicy do przybliżonych obliczeń
Jak już wiadomo, przyrost ∆у funkcji y=ƒ(х) w punkcie x można przedstawić jako ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, gdzie α→0 jako ∆х→0, lub dy+α ∆x Odrzucając nieskończenie małe α ∆x rzędu wyższego niż ∆x, otrzymujemy przybliżoną równość
∆у≈ dy, (24,3)
ponadto równość ta jest tym dokładniejsza, im mniejsze ∆x.
Ta równość pozwala nam obliczyć w przybliżeniu przyrost dowolnej funkcji różniczkowalnej z dużą dokładnością.
Różniczkę można zwykle znaleźć znacznie łatwiej niż przyrost funkcji, więc wzór (24.3) jest szeroko stosowany w praktyce obliczeniowej.
<< Пример 24.3
Znajdź przybliżoną wartość przyrostu funkcji y \u003d x 3 -2x + 1 dla x \u003d 2 i ∆x \u003d 0,001.
Rozwiązanie: Stosujemy wzór (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.
A więc ∆у» 0,01.
Zobaczmy, jaki błąd popełniono, obliczając różniczkę funkcji zamiast jej przyrostu. Aby to zrobić, znajdujemy ∆у:
∆y \u003d ((x + ∆x) 3 -2 (x + ∆x) + 1) - (x 3 -2x + 1) \u003d x 3 + 3x 2 ∆x + 3x (∆x) 2 + ( ∆x ) 3 -2x-2 ∆x + 1-x 3 + 2x-1 \u003d ∆x (3x 2 + 3x ∆x + (∆x) 2 -2);
Bezwzględny błąd przybliżenia jest równy
|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.
Podstawiając do równości (24.3) wartości ∆у i dy, otrzymujemy
ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х
ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24,4)
Wzór (24.4) służy do obliczania przybliżonych wartości funkcji.
<< Пример 24.4
Oblicz w przybliżeniu arctg(1,05).
Rozwiązanie: Rozważmy funkcję ƒ(х)=arctgx. Zgodnie ze wzorem (24.4) mamy:
arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,
tj. 
Skoro x+∆x=1,05, to dla x=1 i ∆x=0,05 otrzymujemy:
Można wykazać, że błąd bezwzględny wzoru (24.4) nie przekracza wartości M (∆x) 2, gdzie M jest największą wartością |ƒ"(x)| na odcinku [x;x+∆x].
<< Пример 24.5
Jaką odległość pokona ciało w swobodnym spadku na Księżycu w czasie 10,04 s od początku spadania. Równanie swobodnego spadania ciała
H \u003d g l t 2 /2, g l \u003d 1,6 m / s 2.
Rozwiązanie: Należy znaleźć H(10,04). Używamy przybliżonego wzoru (ΔH≈dH)
H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. Przy t=10 s i ∆t=dt=0,04 s, H"(t)=g l t, znajdujemy
Zadanie (do samodzielnego rozwiązania). Ciało o masie m=20kg porusza się z prędkością v=10,02m/s. Oblicz w przybliżeniu energię kinetyczną ciała
24.6. Różnice wyższego rzędu
Niech y=ƒ(x) będzie funkcją różniczkowalną, a jej argument x będzie zmienna niezależna. Wtedy jego pierwsza różniczka dy=ƒ"(x)dx jest również funkcją x; można znaleźć różniczkę tej funkcji.
Wywoływana jest różniczka od różniczki funkcji y=ƒ(x). jej druga różnica(lub różniczka drugiego rzędu) i jest oznaczane jako d 2 y lub d 2 ƒ(x).
Zatem z definicji d 2 y=d(dy). Znajdźmy wyrażenie na drugą różniczkę funkcji y=ƒ(x).
Ponieważ dx=∆x nie zależy od x, zakładamy, że dx jest stałe podczas różniczkowania:
re 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 tj. .
re 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2. (24,5)
Tutaj dx 2 oznacza (dx) 2 .
Różniczka trzeciego rzędu jest zdefiniowana i znaleziona podobnie
re 3 y \u003d re (d 2 y) \u003d re (ƒ "(x) dx 2) ≈ f" (x) (dx) 3.
Ogólnie rzecz biorąc, różniczka n-tego rzędu jest różniczką różniczki (n-1)-tego rzędu: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .
Stąd stwierdzamy, że w szczególności dla n=1,2,3
odpowiednio otrzymujemy:
tj. pochodną funkcji można postrzegać jako stosunek jej różniczki odpowiedniego rzędu do odpowiedniej potęgi różniczki zmiennej niezależnej.
Zauważ, że wszystkie powyższe wzory są ważne tylko wtedy, gdy x jest zmienną niezależną. Jeśli funkcja y \u003d ƒ (x), gdzie x - funkcja jakiejś innej zmiennej niezależnej, to różniczki drugiego i wyższych rzędów nie mają właściwości niezmienniczości postaci i są obliczane przy użyciu innych wzorów. Pokażmy to na przykładzie różniczki drugiego rzędu.
Korzystając ze wzoru na iloczyn (d(uv)=vdu+udv), otrzymujemy:
re 2 y \u003d d (f "(x) dx) \u003d d (ƒ "(x)) dx + ƒ" (x) d (dx) \u003d ƒ "(x) dx dx + ƒ" (x) d 2 x , tj.
re 2 y \u003d ƒ "(x) dx 2 + ƒ" (x) re 2 x. (24,6)
Porównując wzory (24.5) i (24.6), widzimy, że w przypadku funkcji zespolonej zmienia się wzór różniczkowy drugiego rzędu: pojawia się drugi wyraz ƒ "(x) d 2 x.
Jest oczywiste, że jeśli x jest zmienną niezależną, to
re 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0
a wzór (24,6) przechodzi we wzór (24,5).
<< Пример 24.6
Znajdź d 2 y, jeśli y=e 3x i x jest zmienną niezależną.
Rozwiązanie: Skoro y"=3e 3x, y"=9e 3x, to ze wzoru (24,5) mamy d 2 y=9e 3x dx 2 .
<< Пример 24.7
Znajdź d 2 y jeśli y=x 2 i x=t 3 +1 i t jest zmienną niezależną.
Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru (24.6): od
y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2,
To re 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2
Inne rozwiązanie: y=x 2 , x=t 3 +1. Dlatego y \u003d (t 3 +1) 2. Następnie według wzoru (24,5)
re 2 y=y ¢¢ dt 2 ,
re 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .
Będąc nierozerwalnie związanymi, oba były aktywnie wykorzystywane przez kilka stuleci w rozwiązywaniu prawie wszystkich problemów, które pojawiły się w procesie ludzkiej działalności naukowej i technicznej.
Pojawienie się pojęcia dyferencjału
Po raz pierwszy wyjaśnił, czym jest różniczka, jeden z twórców (wraz z Izaakiem Newtonem) rachunku różniczkowego, słynny niemiecki matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz. Wcześniej matematycy 17 art. zastosowano bardzo rozmyty i niejasny pomysł jakiejś nieskończenie małej „niepodzielnej” części dowolnej znanej funkcji, reprezentującej bardzo małą stałą wartość, ale nie równą zeru, mniejszą niż wartości funkcji po prostu nie mogą być. Stąd był tylko jeden krok do wprowadzenia pojęcia nieskończenie małych przyrostów argumentów funkcji i odpowiadających im przyrostów samych funkcji, wyrażonych za pomocą pochodnych tych ostatnich. I ten krok podjęli niemal jednocześnie dwaj wspomniani wielcy naukowcy.
Opierając się na potrzebie rozwiązania pilnych praktycznych problemów mechaniki, które szybko rozwijający się przemysł i technologia postawiły przed nauką, Newton i Leibniz stworzyli ogólne metody znajdowania szybkości zmian funkcji (przede wszystkim w odniesieniu do mechanicznej prędkości ciała poruszającego się po znanej trajektorii), co doprowadziło do wprowadzenia takich pojęć, jak pochodna i różniczka funkcji, a także znalazł algorytm rozwiązywania problemu odwrotnego, jak znaleźć drogę przebytą od znanej (zmiennej) prędkości, co doprowadziło do pojawienia się pojęcia całki.
W pracach Leibniza i Newtona po raz pierwszy pojawiła się idea, że różniczki są głównymi częściami przyrostów funkcji Δy, proporcjonalnymi do przyrostów argumentów Δx, które z powodzeniem można zastosować do obliczenia wartości ten ostatni. Innymi słowy, odkryli, że przyrost funkcji można wyrazić w dowolnym punkcie (w jej dziedzinie definicji) jako jej pochodną jako 0, znacznie szybciej niż samo Δx.
Według twórców analizy matematycznej, różniczki to tylko pierwsze wyrazy w wyrażeniach określających przyrosty dowolnych funkcji. Nie mając jeszcze jasno sformułowanej koncepcji granicy ciągów, intuicyjnie zrozumieli, że wartość różniczki dąży do pochodnej funkcji jako Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).
W przeciwieństwie do Newtona, który był przede wszystkim fizykiem i uważał aparat matematyczny za narzędzie pomocnicze do badania problemów fizycznych, Leibniz poświęcił więcej uwagi samemu temu zestawowi narzędzi, w tym systemowi wizualnej i zrozumiałej notacji wielkości matematycznych. To on zaproponował ogólnie przyjęty zapis różnic funkcji dy \u003d y "(x) dx, argument dx i pochodna funkcji w postaci ich stosunku y" (x) \u003d dy / dx .
Nowoczesna definicja
Co to jest różnica z punktu widzenia współczesnej matematyki? Jest to ściśle związane z koncepcją zmiennego przyrostu. Jeżeli zmienna y najpierw przyjmuje wartość y = y 1, a następnie y = y 2 , to różnicę y 2 ─ y 1 nazywamy przyrostem y.
Przyrost może być dodatni. ujemne i równe zeru. Słowo „przyrost” jest oznaczane przez Δ, zapis Δy (czytaj „delta y”) oznacza przyrost y. więc Δу = y 2 ─ y 1 .
Jeśli wartość Δу dowolnej funkcji y = f (x) można przedstawić jako Δу = A Δх + α, gdzie A nie zależy od Δх, tj. A = const dla danego x, a wyraz α dąży do tego, to nawet szybciej niż sam Δx, to pierwszy („główny”) składnik proporcjonalny do Δx jest różniczką dla y \u003d f (x), oznaczoną przez dy lub df (x) (czytaj „de y”, „def ef od x "). Dlatego różniczki są „głównymi” składowymi liniowymi przyrostów funkcji względem Δx.
Interpretacja mechaniczna
Niech s = f(t) będzie odległością od pozycji startowej (t to czas podróży). Przyrost Δs to droga punktu w przedziale czasu Δt, a różniczka ds = f "(t) Δt to droga, którą punkt przebyłby w tym samym czasie Δt, gdyby utrzymywał prędkość f" (t ) osiągnięty do czasu t . Dla nieskończenie małej Δt urojona ścieżka ds różni się od prawdziwej Δs o nieskończenie małą wartość, która ma wyższy rząd w stosunku do Δt. Jeżeli prędkość w chwili t nie jest równa zeru, to ds daje przybliżoną wartość małego przemieszczenia punktu.
Interpretacja geometryczna
Niech prosta L będzie wykresem y = f(x). Następnie Δ x \u003d MQ, Δy \u003d QM "(patrz rysunek poniżej). Styczna MN dzieli odcinek Δy na dwie części, QN i NM". Pierwszy jest proporcjonalny do Δх i równy QN = MQ∙tg (kąt QMN) = Δх f "(x), tj. QN jest różniczką dy.
Druga część NM „daje różnicę Δу ─ dy, przy Δх→0 długość NM” maleje nawet szybciej niż przyrost argumentu, tj. jego rząd małości jest wyższy niż rząd Δх. W rozważanym przypadku, dla f "(x) ≠ 0 (styczna nie jest równoległa do OX), odcinki QM" i QN są równoważne; innymi słowy, NM” maleje szybciej (jego rząd małości jest wyższy) niż całkowity przyrost Δу = QM”. Widać to na rysunku (w miarę jak M „zbliża się do M, odcinek NM” stanowi coraz mniejszy procent segmentu QM”).
Tak więc, graficznie, różniczka dowolnej funkcji jest równa wielkości przyrostu rzędnej jej stycznej.
Pochodna i różniczkowa
Współczynnik A w pierwszym członie wyrażenia na przyrost funkcji jest równy wartości jej pochodnej f "(x). Zatem zachodzi następująca zależność - dy \u003d f" (x) Δx, czyli df (x) \u003d fa "(x) Δx.
Wiadomo, że przyrost argumentu niezależnego jest równy jego różniczce Δх = dx. W związku z tym możesz napisać: f "(x) dx \u003d dy.
Znajdowanie (czasami nazywane „rozwiązywaniem”) różniczek odbywa się według tych samych zasad, co w przypadku pochodnych. Ich listę podano poniżej.
Co jest bardziej uniwersalne: przyrost argumentu czy jego różniczka
W tym miejscu konieczne jest dokonanie kilku wyjaśnień. Reprezentacja przez wartość f "(x) Δx różniczki jest możliwa przy rozważaniu x jako argumentu. Ale funkcja może być złożona, w której x może być funkcją jakiegoś argumentu t. Wtedy reprezentacja różnicy przez wyrażenie f "(x) Δx z reguły jest niemożliwe; z wyjątkiem przypadku zależności liniowej x = at + b.
Jeśli chodzi o wzór f "(x) dx \u003d dy, to w przypadku niezależnego argumentu x (wtedy dx \u003d Δx), aw przypadku parametrycznej zależności x od t, reprezentuje on różnicę.
Na przykład wyrażenie 2 x Δx reprezentuje dla y = x 2 jego różniczkę, gdy x jest argumentem. Ustawmy teraz x= t 2 i przyjmijmy t jako argument. Wtedy y = x 2 = t 4 .
To wyrażenie nie jest proporcjonalne do Δt, a zatem teraz 2xΔх nie jest różniczką. Można to znaleźć z równania y = x 2 = t 4 . Okazuje się, że jest równe dy=4t 3 Δt.
Jeśli weźmiemy wyrażenie 2xdx, to reprezentuje ono różniczkę y = x 2 dla dowolnego argumentu t. Rzeczywiście, przy x= t 2 otrzymujemy dx = 2tΔt.
Oznacza to, że 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, tj. wyrażenia różniczek zapisane w kategoriach dwóch różnych zmiennych pokrywały się.
Zastępowanie przyrostów różnicami
Jeśli f "(x) ≠ 0, to Δу i dy są równoważne (dla Δх→0); jeśli f "(x) = 0 (co oznacza dy = 0), nie są równoważne.
Na przykład, jeśli y \u003d x 2, to Δy \u003d (x + Δx) 2 ─ x 2 \u003d 2xΔx + Δx 2 i dy \u003d 2xΔx. Jeśli x=3, to mamy Δу = 6Δх + Δх 2 i dy = 6Δх, które są równoważne ze względu na Δх 2 →0, przy x=0 wartości Δу = Δх 2 i dy=0 nie są równoważne.
Fakt ten, wraz z prostą strukturą różniczki (tj. liniowością względem Δx), jest często wykorzystywany w obliczeniach przybliżonych, przy założeniu, że Δy ≈ dy dla małego Δx. Znalezienie różniczki funkcji jest zwykle łatwiejsze niż obliczenie dokładnej wartości przyrostu.
Na przykład mamy metalowy sześcian o krawędzi x = 10,00 cm Po podgrzaniu krawędź wydłużyła się o Δx = 0,001 cm O ile zwiększyła się objętość V sześcianu? Mamy V \u003d x 2, więc dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (cm 3). Przyrost objętości ΔV jest równoważny różnicy dV, więc ΔV = 3 cm 3 . Pełne obliczenie dałoby ΔV = 10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Ale w tym wyniku wszystkie liczby oprócz pierwszej są niewiarygodne; więc i tak musisz zaokrąglić do 3 cm 3.
Oczywiste jest, że takie podejście jest przydatne tylko wtedy, gdy możliwe jest oszacowanie wielkości wprowadzonego błędu.
Funkcja różniczkowa: przykłady
Spróbujmy znaleźć różniczkę funkcji y = x 3 bez znajdowania pochodnej. Zwiększmy argument i zdefiniujmy Δу.
Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).
Tutaj współczynnik A= 3x 2 nie zależy od Δх, więc pierwszy człon jest proporcjonalny do Δх, podczas gdy drugi człon 3xΔх 2 + Δх 3 przy Δх→0 maleje szybciej niż przyrost argumentu. Zatem termin 3x 2 Δx jest różniczką y = x 3:
dy \u003d 3x 2 Δx \u003d 3x 2 dx lub d (x 3) \u003d 3x 2 dx.
W tym przypadku d(x 3) / dx \u003d 3x 2.
Znajdźmy teraz dy funkcji y = 1/x pod względem jej pochodnej. Wtedy d(1/x) / dx = ─1/x 2 . Dlatego dy = ─ Δх/х 2 .
Różniczki podstawowych funkcji algebraicznych podano poniżej.
Przybliżone obliczenia z wykorzystaniem różnicy
Często nie jest trudno obliczyć funkcję f (x), jak również jej pochodną f "(x) dla x=a, ale nie jest łatwo zrobić to samo w pobliżu punktu x=a. Wówczas na ratunek przychodzi wyrażenie przybliżone
fa (a + Δх) ≈ fa "(a) Δх + fa (a).
Daje przybliżoną wartość funkcji przy małych przyrostach Δх przez jej różniczkę f "(a)Δх.
Zatem wzór ten daje przybliżone wyrażenie na funkcję w punkcie końcowym odcinka o długości Δx jako sumę jej wartości w punkcie początkowym tego odcinka (x=a) i różniczki w tym samym punkcie początkowym. Błąd tej metody wyznaczania wartości funkcji ilustruje poniższy rysunek.
Znane jest jednak również dokładne wyrażenie na wartość funkcji dla x=a+Δх, podane wzorem na skończone przyrosty (lub innymi słowy wzorem Lagrange'a)
fa (a + Δх) ≈ fa "(ξ) Δх + fa (a),
gdzie punkt x = a + ξ znajduje się na odcinku od x = a do x = a + Δx, chociaż jego dokładna pozycja nie jest znana. Wzór dokładny umożliwia oszacowanie błędu wzoru przybliżonego. Jeśli wstawimy ξ = Δх /2 do wzoru Lagrange'a, to chociaż przestaje być on dokładny, to zwykle daje znacznie lepsze przybliżenie niż pierwotne wyrażenie przez różniczkę.
Szacowanie błędu formuł przez zastosowanie różnicy
W zasadzie są one niedokładne i wprowadzają odpowiednie błędy do danych pomiarowych. Cechuje je błąd krańcowy lub w skrócie błąd krańcowy – liczba dodatnia, oczywiście przewyższająca ten błąd w wartości bezwzględnej (lub przynajmniej równa mu). Granica nazywana jest ilorazem jej podziału przez wartość bezwzględną mierzonej wartości.
Niech dokładny wzór y= f (x) zostanie użyty do obliczenia funkcji y, ale wartość x jest wynikiem pomiaru i dlatego wprowadza błąd do y. Następnie, aby znaleźć graniczny błąd bezwzględny │Δу│ funkcji y, użyj wzoru
│Δу│≈│dy│=│ f "(x)││Δх│,
gdzie │Δх│ jest błędem marginalnym argumentu. Wartość │Δу│ należy zaokrąglić w górę, ponieważ niedokładne jest samo zastąpienie obliczenia przyrostu obliczeniem różnicy.