Zastosowanie różniczki w obliczeniach przybliżonych. Stosowanie różnicy do przybliżonych obliczeń Używanie różnicy do przybliżonych obliczeń

Rozważ szeroko rozpowszechniony problem o przybliżonym obliczeniu wartości funkcji za pomocą różniczki.

Tutaj i poniżej skupimy się na różniczkach pierwszego rzędu; dla zwięzłości często będziemy mówić po prostu „różniczka”. Problem przybliżonych obliczeń za pomocą różnicy ma sztywny algorytm rozwiązania, dlatego nie powinno być żadnych szczególnych trudności. Jedyną rzeczą jest to, że są małe pułapki, które również zostaną oczyszczone. Więc nie krępuj się nurkować z głową.

Ponadto rozdział zawiera wzory do znajdowania błędów bezwzględnych i względnych obliczeń. Materiał jest bardzo przydatny, ponieważ błędy muszą być obliczane również w innych zadaniach.

Aby pomyślnie opanować przykłady, musisz być w stanie znaleźć pochodne funkcji przynajmniej na średnim poziomie, więc jeśli różniczkowanie jest całkowicie błędne, zacznij od znalezienie pochodnej w punkcie i z znalezienie różnicy w punkcie. Ze środków technicznych będziesz potrzebować mikrokalkulatora z różnymi funkcjami matematycznymi. Możesz skorzystać z możliwości MS Excel, ale w tym przypadku jest to mniej wygodne.

Lekcja składa się z dwóch części:

– Przybliżone obliczenia z wykorzystaniem różniczki wartości funkcji jednej zmiennej w punkcie.

– Przybliżone obliczenia z wykorzystaniem całkowitej różniczki wartości funkcji dwóch zmiennych w punkcie.

Rozważane zadanie jest ściśle związane z pojęciem różniczki, ale ponieważ wciąż nie mamy lekcji na temat znaczenia pochodnej i różniczki, ograniczymy się do formalnego rozważenia przykładów, które są wystarczające do nauczenia się jak je rozwiązać.

Przybliżone obliczenia z wykorzystaniem różniczki funkcji jednej zmiennej

W pierwszym akapicie funkcja jednej zmiennej rządzi. Jak wszyscy wiedzą, jest oznaczony przez y lub przez F(X). W przypadku tego problemu znacznie wygodniej jest użyć drugiej notacji. Przejdźmy do popularnego przykładu, który często pojawia się w praktyce:

Przykład 1

Rozwiązanie: Proszę przepisać do zeszytu wzór roboczy do przybliżonego obliczenia z wykorzystaniem różniczki:

Zaczynajmy, to proste!

Pierwszym krokiem jest utworzenie funkcji. Warunkowo proponuje się obliczyć pierwiastek sześcienny liczby: , więc odpowiednia funkcja ma postać: .

Musimy użyć wzoru, aby znaleźć przybliżoną wartość.

Patrzymy na lewa strona formuły i przychodzi mi do głowy myśl, że liczba 67 musi być przedstawiona jako . Jak to zrobić najłatwiej? Polecam następujący algorytm: obliczyć tę wartość na kalkulatorze:

- okazało się, że 4 z ogonem, to ważna wskazówka dla rozwiązania.

Jak X 0 wybierz „dobrą” wartość, aby wydobyć korzeń. Oczywiście ta wartość X 0 powinno być tak blisko jak to możliwe do 67.

W tym przypadku X 0 = 64. Rzeczywiście, .

Uwaga: w przypadku wyboruX 0 problem nadal występuje, wystarczy spojrzeć na obliczoną wartość (w tym przypadku ), weź najbliższą część całkowitą (w tym przypadku 4) i podnieś ją do żądanej potęgi (w tym przypadku ). W rezultacie zostanie dokonany żądany wybór. X 0 = 64.

Jeśli X 0 = 64, to przyrost argumentu wynosi: .

Tak więc liczba 67 jest reprezentowana jako suma

Najpierw obliczamy wartość funkcji w punkcie X 0 = 64. Właściwie zostało to już zrobione wcześniej:

Różniczkę w punkcie można znaleźć według wzoru:

Możesz również skopiować tę formułę do zeszytu.

Ze wzoru wynika, że ​​​​musisz wziąć pierwszą pochodną:

I znajdź jego wartość w punkcie X 0:

.

Zatem:

Wszystko jest gotowe! Zgodnie ze wzorem:

Znaleziona przybliżona wartość jest dość zbliżona do wartości 4,06154810045 obliczonej za pomocą mikrokalkulatora.

Odpowiedź:

Przykład 2

Oblicz w przybliżeniu , zastępując przyrosty funkcji jej różniczką.

To jest przykład zrób to sam. Zgrubny przykład pracy wykończeniowej i odpowiedź na koniec lekcji. Początkującym polecam najpierw obliczyć dokładną wartość na mikrokalkulatorze, aby dowiedzieć się, jaką liczbę wziąć X 0 , a który dla Δ X. Należy zauważyć, że Δ X w tym przykładzie będzie ujemna.

Niektórzy mogą mieć pytanie, po co to zadanie, skoro wszystko można spokojnie i dokładniej obliczyć na kalkulatorze? Zgadzam się, zadanie jest głupie i naiwne. Ale spróbuję to trochę uzasadnić. Po pierwsze, zadanie ilustruje znaczenie różniczki funkcji. Po drugie, w czasach starożytnych kalkulator był czymś w rodzaju osobistego helikoptera w naszych czasach. Sam widziałem jak komputer wielkości pokoju został wyrzucony gdzieś z jednego z instytutów w latach 1985-86 (radioamatorzy ze śrubokrętami zbiegli się z całego miasta i po kilku godzinach z jednostki została tylko obudowa ). Antyki znaleziono również na naszym wydziale fizyki, jednak w mniejszym rozmiarze - gdzieś mniej więcej wielkości biurka. Tak cierpieli nasi przodkowie metodami obliczeń przybliżonych. Powóz konny to także środek transportu.

Tak czy inaczej problem pozostał w standardowym kursie matematyki wyższej i będzie musiał zostać rozwiązany. To jest główna odpowiedź na twoje pytanie =).

Przykład 3

Oblicz w przybliżeniu korzystając z różnicy wartość funkcji w punkcie X= 1,97. Oblicz dokładniejszą wartość funkcji w punkcie X= 1,97 za pomocą mikrokalkulatora oceń bezwzględne i względne błędy obliczeń.

W rzeczywistości zadanie to można łatwo przeformułować w następujący sposób: „Oblicz przybliżoną wartość z mechanizmem różnicowym

Rozwiązanie: Korzystamy ze znanej formuły:

W takim przypadku podana jest już gotowa funkcja: . Jeszcze raz zwracam uwagę na fakt, że wyznaczenie funkcji zamiast „gry” jest wygodniejsze w użyciu F(X).

Oznaczający X= 1,97 musi być reprezentowane jako X 0 = Δ X. Cóż, tutaj jest łatwiej, widzimy, że liczba 1,97 jest bardzo blisko „dwójki”, więc błaga X 0 = 2. A zatem: .

Oblicz wartość funkcji w punkcie X 0 = 2:

Korzystając z formuły , obliczamy różniczkę w tym samym punkcie.

Znalezienie pierwszej pochodnej:

I jego wartość w punkcie X 0 = 2:

Zatem różniczka w punkcie:

W rezultacie, zgodnie ze wzorem:

Druga część zadania polega na znalezieniu bezwzględnego i względnego błędu obliczeń.

Analogicznie do linearyzacji funkcji jednej zmiennej, w przybliżonym obliczeniu wartości funkcji kilku zmiennych, różniczkowalnych w pewnym punkcie, jej przyrost można zastąpić różniczką. W ten sposób można znaleźć przybliżoną wartość funkcji kilku (na przykład dwóch) zmiennych za pomocą wzoru:

Przykład.

Oblicz przybliżoną wartość
.

Rozważ funkcję
i wybierz X 0 = 1, Na 0 = 2. Następnie Δ x = 1,02 - 1 = 0,02; Δ y= 1,97 - 2 = -0,03. Znajdźmy
,

Dlatego biorąc pod uwagę, że F ( 1, 2) = 3, otrzymujemy:

Różniczkowanie funkcji zespolonych.

Niech argumenty funkcji z = F (X, y) u I w: X = X (u, w), y = y (u, w). Następnie funkcja F jest też funkcja u I w. Dowiedz się, jak znaleźć jego pochodne cząstkowe w odniesieniu do argumentów u I w, bez bezpośredniego zastąpienia

z = fa (x(u, v), y(u, v)). W tym przypadku przyjmiemy, że wszystkie rozważane funkcje mają pochodne cząstkowe względem wszystkich swoich argumentów.

Ustaw argument u przyrost Δ u, bez zmiany argumentu w. Następnie

Jeśli ustawisz przyrost tylko na argument w, otrzymujemy: . (2.8)

Dzielimy obie strony równości (2.7) przez Δ u i równości (2.8) na Δ w i przejść odpowiednio do granicy dla Δ u→ 0 i ∆ w→ 0. W tym przypadku bierzemy to pod uwagę ze względu na ciągłość funkcji X I Na. Stąd,

Rozważmy kilka szczególnych przypadków.

Pozwalać X = X(T), y = y(T). Następnie funkcja F (X, y) jest właściwie funkcją jednej zmiennej T, i jest to możliwe, wykorzystując wzory (2.9) i podstawiając w nich pochodne cząstkowe X I Na Przez u I w do zwykłych pochodnych względem T(oczywiście pod warunkiem różniczkowalności funkcji X(T) I y(T) ), uzyskaj wyrażenie dla :

(2.10)

Załóżmy teraz, że jako T ulubiona zmienna X, to jest X I Na powiązane stosunkiem y = y(x). W tym przypadku, podobnie jak w poprzednim przypadku, funkcja F jest funkcją jednej zmiennej X. Korzystając ze wzoru (2.10) dla T = X i biorąc to pod uwagę
, rozumiemy to

. (2.11)

Zauważ, że ten wzór zawiera dwie pochodne funkcji F argumentem X: po lewej stronie jest tzw całkowita pochodna, w przeciwieństwie do prywatnego po prawej stronie.

Przykłady.

Następnie ze wzoru (2.9) otrzymujemy:

(W wyniku końcowym zastępujemy wyrażenia for X I Na jak funkcjonować u I w).

Znajdźmy całkowitą pochodną funkcji z = grzech( X + y²), gdzie y = sałata X.

Niezmienniczość postaci różniczkowej.

Za pomocą wzorów (2.5) i (2.9) wyrażamy całkowitą różniczkę funkcji z = F (X, y) , Gdzie X = X(u, w), y = y(u, w), przez różniczki zmiennych u I w:

(2.12)

Dlatego forma różniczki jest zachowana dla argumentów u I w tak samo jak dla funkcji tych argumentów X I Na, czyli jest niezmienny(bez zmian).

Funkcje ukryte, warunki ich istnienia. Różniczkowanie funkcji uwikłanych. Pochodne cząstkowe i różniczki wyższych rzędów, ich własności.

Definicja 3.1. Funkcjonować Na z X, określone równaniem

F(x,y)= 0 , (3.1)

zwany funkcja niejawna.

Oczywiście nie każde równanie postaci (3.1) wyznacza Na jako jednowartościową (a ponadto ciągłą) funkcję X. Na przykład równanie elipsy

zestawy Na jako funkcja dwuwartościowa X:
Dla

Warunki istnienia jednowartościowej i ciągłej funkcji uwikłanej określa następujące twierdzenie:

Twierdzenie 3.1 (brak dowodów). Zostawiać:

a) w jakimś sąsiedztwie punktu ( X 0 , y 0 ) równanie (3.1) określa Na jako jednowartościowa funkcja X: y = F(X) ;

b) kiedy x = x 0 ta funkcja przyjmuje wartość Na 0 : F (X 0 ) = y 0 ;

c) funkcja F (X) ciągły.

Znajdźmy, przy podanych warunkach, pochodną funkcji y = F (X) Przez X.

Twierdzenie 3.2. Niech funkcja Na z X jest dane implicite równaniem (3.1), gdzie funkcja F (X, y) spełnia warunki Twierdzenia 3.1. Niech dodatkowo
- funkcje ciągłe w jakiejś dziedzinie D zawierający punkt (x, y), którego współrzędne spełniają równanie (3.1) iw tym punkcie
. Następnie funkcja Na z X ma pochodną

(3.2)

Przykład. Znajdźmy , Jeśli
. Znajdźmy
,
.

Następnie ze wzoru (3.2) otrzymujemy:
.

Pochodne i różniczki wyższych rzędów.

Funkcje pochodne cząstkowe z = F (X, y) są z kolei funkcjami zmiennych X I Na. Dlatego można znaleźć ich pochodne cząstkowe względem tych zmiennych. Oznaczmy je tak:

W ten sposób otrzymuje się cztery pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Każdy z nich można ponownie rozróżnić według X i przez Na i otrzymać osiem pochodnych cząstkowych trzeciego rzędu itd. Definiujemy pochodne wyższego rzędu w następujący sposób:

Definicja 3.2.prywatna pochodnaN -te zamówienie funkcji kilku zmiennych nazywa się pierwszą pochodną pochodnej ( N– 1) zamówienie.

Pochodne cząstkowe mają ważną właściwość: wynik różniczkowania nie zależy od kolejności różniczkowania (np.
). Udowodnijmy to stwierdzenie.

Twierdzenie 3.3. Jeśli funkcja z = F (X, y) i jego pochodne cząstkowe
określona i ciągła w punkcie M (x, y) i w niektórych jego okolicach, a następnie w tym momencie

(3.3)

Konsekwencja. Właściwość ta obowiązuje dla pochodnych dowolnego rzędu i dla funkcji dowolnej liczby zmiennych.

Mechanizm różnicowy funkcje w punkcie nazywa się głównym, liniowym względem przyrostu argumentu
część przyrostu funkcji
, równy iloczynowi pochodnej funkcji w punkcie dla przyrostu zmiennej niezależnej:

.

Stąd przyrost funkcji
różni się od swojej różnicy
do nieskończenie małej wartości i dla wystarczająco małych wartości, możemy założyć
Lub

Powyższy wzór jest używany w przybliżonych obliczeniach, a mniej
, tym dokładniejszy wzór.

Przykład 3.1. Oblicz w przybliżeniu

Rozwiązanie. Rozważ funkcję
. To jest funkcja potęgowa i jej pochodna

Jak musisz wziąć liczbę, która spełnia warunki:

Oznaczający
znane lub dość łatwe do obliczenia;

Numer powinna być jak najbardziej zbliżona do 33,2.

W naszym przypadku wymagania te spełnia liczba = 32, dla którego
= 2,
= 33,2 -32 = 1,2.

Stosując formułę, znajdujemy wymaganą liczbę:

+
.

Przykład 3.2. Znajdź czas na podwojenie depozytu w banku, jeśli roczna stopa procentowa banku wynosi 5% w skali roku.

Rozwiązanie. W ciągu roku składka wzrasta o
razy, ale za latach składka wzrośnie
raz. Teraz musimy rozwiązać równanie:
=2. Logarytmując, dostajemy gdzie
. Otrzymujemy przybliżony wzór do obliczeń
. Zarozumiały
, znajdować
i zgodnie z przybliżonym wzorem. W naszym przypadku
I
. Stąd. Ponieważ
, znajdujemy czas podwojenia wkładu
lata.

Pytania do samokontroli

1. Zdefiniuj różniczkę funkcji w punkcie.

2. Dlaczego wzór użyty do obliczeń jest przybliżony?

3. Jakie warunki musi spełniać liczba zawarte w powyższym wzorze?

Zadania do samodzielnej pracy

Oblicz przybliżoną wartość
, zastępując w punkcie
przyrost funkcji
jego różnica.

Tabela 3.1

4 .Badanie funkcji i budowanie ich wykresów

Jeżeli funkcja jednej zmiennej jest podana jako wzór
, to dziedziną jego definicji jest taki zbiór wartości argumentu , na którym zdefiniowane są wartości funkcji.

Przykład 4.1. Wartość funkcji
są zdefiniowane tylko dla nieujemnych wartości radykalnego wyrażenia:
. Stąd dziedziną definicji funkcji jest półprzedział, ponieważ jest to wartość funkcji trygonometrycznej
spełnić nierówność: -1
1.

Funkcjonować
zwany nawet, jeśli dla dowolnych wartości z dziedziny jego definicji, równości

,

I dziwne, jeśli druga relacja jest prawdziwa:
. W innych przypadkach funkcja jest wywoływana ogólna funkcja.

Przykład 4.4. Pozwalać
. Sprawdźmy: . Zatem ta funkcja jest parzysta.

Dla funkcji
Prawidłowy. Stąd ta funkcja jest nieparzysta.

Suma poprzednich funkcji
jest funkcją ogólną, ponieważ funkcja nie jest równa
I
.

Asymptota wykres funkcji
nazywamy linią, która ma tę właściwość, że odległość od punktu ( ;
) płaszczyzny do tej prostej dąży do zera w nieograniczonej odległości od punktu wykresu od początku układu współrzędnych. Istnieją asymptoty pionowe (ryc. 4.1), poziome (ryc. 4.2) i ukośne (ryc. 4.3).

Ryż. 4.1. Harmonogram

Ryż. 4.2. Harmonogram

Ryż. 4.3. Harmonogram

Asymptot pionowych funkcji należy szukać albo w punktach nieciągłości drugiego rodzaju (co najmniej jedna z jednostronnych granic funkcji w punkcie jest nieskończona lub nie istnieje), albo na końcach jej dziedziny definicji
, Jeśli
są liczbami końcowymi.

Jeśli funkcja
jest zdefiniowana na całej osi liczbowej i istnieje skończona granica
, Lub
, to prosta dana przez równanie
, jest prawą asymptotą poziomą i linią prostą
jest lewą asymptotą poziomą.

Jeśli są granice

I
,

potem prosto
jest ukośną asymptotą wykresu funkcji. Ukośna asymptota może być również prawoskrętna (
) lub leworęcznych (
).

Funkcjonować
nazywa się rosnącym na zbiorze
, jeśli dla każdego
, takie że >, zachodzi następująca nierówność:
>
(malejące, jeśli jednocześnie:
<
). Pęczek
w tym przypadku nazywany jest przedziałem monotoniczności funkcji.

Następujący warunek wystarczający dla monotoniczności funkcji jest spełniony: jeśli pochodna funkcji różniczkowalnej wewnątrz zbioru
jest dodatnia (ujemna), to funkcja jest rosnąca (malejąca) na tym zbiorze.

Przykład 4.5. Biorąc pod uwagę funkcję
. Znajdź jego przedziały wzrostu i spadku.

Rozwiązanie. Znajdźmy jego pochodną
. To oczywiste >0 o godz >3 i <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) i wzrasta o (3;
).

Kropka zwany punktem lokalne maksimum (minimum) Funkcje
, jeśli w jakimś sąsiedztwie punktu nierówność
(
) . Wartość funkcji w punkcie zwany maksimum (minimum). Maksimum i minimum funkcji są połączone wspólną nazwą ekstremum Funkcje.

W celu uzyskania funkcji
miał w punkcie ekstremum konieczne jest, aby jej pochodna w tym punkcie była równa zeru (
) lub nie istniało.

Nazywamy punkty, w których pochodna funkcji jest równa zeru stacjonarny punkty funkcyjne. W punkcie stacjonarnym niekoniecznie musi istnieć ekstremum funkcji. Aby znaleźć ekstrema, należy dodatkowo zbadać punkty stacjonarne funkcji, na przykład stosując warunki ekstremów wystarczających.

Pierwszym z nich jest to, że jeśli podczas przechodzenia przez punkt stacjonarny od lewej do prawej pochodna funkcji różniczkowalnej zmienia znak z plusa na minus, wtedy w punkcie osiągane jest maksimum lokalne. Jeśli znak zmienia się z minusa na plus, to jest to punkt minimalny funkcji.

Jeżeli znak pochodnej nie zmienia się podczas przechodzenia przez badany punkt, to w tym punkcie nie ma ekstremum.

Drugi warunek wystarczający dla ekstremum funkcji w punkcie stacjonarnym wykorzystuje drugą pochodną funkcji: jeśli
<0, тоjest punktem maksymalnym, a jeśli
>0, w takim razie - minimalny punkt. Na
=0 pytanie o rodzaj ekstremum pozostaje otwarte.

Funkcjonować
zwany wypukły wklęsły)) na planie
, jeśli dla dowolnych dwóch wartości
zachodzi następująca nierówność:

.

Ryc.4.4. Wykres funkcji wypukłej

Jeżeli druga pochodna funkcji dwukrotnie różniczkowalnej
dodatni (ujemny) w zestawie
, to funkcja jest wklęsła (wypukła) na zbiorze
.

Punkt przegięcia wykresu funkcji ciągłej
nazywamy punktem oddzielającym przedziały, w których funkcja jest wypukła i wklęsła.

Druga pochodna
funkcja podwójnie różniczkowalna w punkcie przegięcia równa się zero, tj
= 0.

Jeśli druga pochodna podczas przechodzenia przez jakiś punkt zmienia wtedy swój znak jest punktem przegięcia jego wykresu.

Podczas badania funkcji i kreślenia jej wykresu zaleca się stosowanie następującego schematu:

Pojęcie mechanizmu różnicowego

Niech funkcja y = F(X) jest różniczkowalna dla pewnej wartości zmiennej X. Dlatego w punkcie X istnieje skończona pochodna

Następnie, z definicji granicy funkcji, różnica

jest nieskończenie małą wielkością w . Wyrażając z równości (1) przyrost funkcji, otrzymujemy

(2)

(wartość nie zależy od , tj. pozostaje stała w ).

Jeśli , to po prawej stronie równości (2) pierwszy wyraz jest liniowy względem . Dlatego kiedy

jest nieskończenie mały tego samego rzędu małości co . Drugi człon jest nieskończenie małym rzędem małości wyższego rzędu niż pierwszy, ponieważ ich stosunek dąży do zera w

Mówią więc, że pierwszy wyraz wzoru (2) jest główną, względnie liniową częścią przyrostu funkcji; im mniejszy tym większy udział przyrostu ma ta część. Dlatego dla małych wartości (i dla ) przyrost funkcji można w przybliżeniu zastąpić jej częścią główną, tj.

Ta główna część przyrostu funkcji nazywana jest różniczką danej funkcji w punkcie X i oznaczać

Stąd,

(5)

Zatem różniczka funkcji y=f(X) jest równe iloczynowi jego pochodnej i przyrostu zmiennej niezależnej.

Komentarz. Trzeba pamiętać, że jeśli X jest początkową wartością argumentu,

Skumulowana wartość, następnie pochodna w wyrażeniu różnicy jest brana w punkcie początkowym X; we wzorze (5) widać to z zapisu, we wzorze (4) nie.

Różniczkę funkcji można zapisać w innej postaci:

Geometryczne znaczenie różniczki. Różniczka funkcji y=f(X) jest równy przyrostowi rzędnej stycznej poprowadzonej do wykresu tej funkcji w punkcie ( X; y), kiedy to się zmieni X według rozmiaru.

właściwości różniczkowe. Różniczkowa niezmienność kształtu

W tej i następnych sekcjach każda z funkcji będzie uważana za różniczkowalną dla wszystkich rozważanych wartości jej argumentów.

Różniczka ma właściwości podobne do pochodnej:

(C jest wartością stałą) (8)

(9)

(12)

Wzory (8) - (12) uzyskuje się z odpowiednich wzorów na pochodną mnożąc obie części każdej równości przez .

Rozważ różniczkę funkcji zespolonej. Niech będzie funkcją zespoloną:

Mechanizm różnicowy

tej funkcji, korzystając ze wzoru na pochodną funkcji zespolonej, można zapisać jako

Ale istnieje różnica funkcji, więc

(13)

Tutaj różniczka jest zapisywana w takiej samej postaci jak we wzorze (7), chociaż argumentem nie jest zmienna niezależna, ale funkcja. Dlatego wyrażenie różniczki funkcji jako iloczynu pochodnej tej funkcji i różniczki jej argumentu jest ważne niezależnie od tego, czy argumentem jest zmienna niezależna, czy też funkcja innej zmiennej. Ta właściwość nazywa się niezmienność(stałość) postaci różniczki.

Podkreślamy, że we wzorze (13) nie można zastąpić przez , ponieważ

dla dowolnej funkcji oprócz liniowej.

Przykład 2 Napisz różniczkę funkcji

na dwa sposoby, wyrażając to: przez różniczkę zmiennej pośredniej i przez różniczkę zmiennej X. Sprawdź, czy otrzymane wyrażenia są zgodne.

Rozwiązanie. Włóżmy

a różniczkę można zapisać jako

Podstawiając do tej równości

dostajemy

Zastosowanie różniczki w obliczeniach przybliżonych

Przybliżona równość ustalona w pierwszej sekcji

umożliwia wykorzystanie różniczki do przybliżonych obliczeń wartości funkcji.

Napiszmy przybliżoną równość bardziej szczegółowo. Ponieważ

Przykład 3 Korzystając z pojęcia różniczki, oblicz w przybliżeniu ln 1,01.

Rozwiązanie. Liczba ln 1.01 jest jedną z wartości funkcji y= ln X. Formuła (15) w tym przypadku przyjmuje postać

Stąd,

co jest bardzo dobrym przybliżeniem: wartość tablicowa ln 1,01 = 0,0100.

Przykład 4 Korzystając z pojęcia różniczki, oblicz w przybliżeniu

Rozwiązanie. Numer
jest jedną z wartości funkcji

Ponieważ pochodna tej funkcji

wówczas formuła (15) przyjmuje postać

dostajemy

(wartość tabeli

).

Korzystając z przybliżonej wartości liczby, musisz być w stanie ocenić stopień jej dokładności. W tym celu obliczane są jego błędy bezwzględne i względne.

Błąd bezwzględny liczby przybliżonej jest równy wartości bezwzględnej różnicy między liczbą dokładną a jej wartością przybliżoną:

Błąd względny przybliżonej liczby to stosunek błędu bezwzględnego tej liczby do wartości bezwzględnej odpowiadającej jej dokładnej liczby:

Mnożąc przez 4/3, znajdujemy

Przyjmowanie wartości głównej tabeli

dla dokładnej liczby szacujemy za pomocą wzorów (16) i (17) bezwzględne i względne błędy przybliżonej wartości:

AleΔ y = Δ F(X 0) to przyrost funkcji, a F (X 0) Δ x = df(X 0) jest różniczką funkcji.

Dlatego w końcu dostajemy

Twierdzenie 1. Niech funkcja y = f(X) w punkcie x 0 ma skończoną pochodną f (X 0)≠0. Następnie dla wystarczająco małych wartości Δ x zachodzi przybliżona równość (1), która staje się arbitralnie dokładna dla Δ X→ 0.

Zatem różniczka funkcji w punkcie X 0 jest w przybliżeniu równe przyrostowi funkcji w tym punkcie.

Ponieważ wtedy z równości (1) otrzymujemy

Na Δ X→ 0 (2)

Na X→ X 0 (2  )

Od równania stycznej do wykresu funkcji y= F(X) w punkcie X 0 ma postać

To przybliżone równości (1)-(2) geometrycznie oznaczają, że w pobliżu punktu x=x 0 wykres funkcji y \u003d f(X) jest w przybliżeniu zastąpiony przez styczną do krzywej y = f(X).

Dla wystarczająco małych wartości całkowity przyrost funkcji i różniczka różnią się nieznacznie, tj. . Ta okoliczność jest używana do przybliżonych obliczeń.

Przykład 1 Oblicz w przybliżeniu .

Rozwiązanie. Rozważ funkcję i zestaw X 0 = 4, X= 3,98. Następnie Δ X =X –X 0 = – 0,02, F(X 0)= 2. Skoro , to F (X 0)=1/4=0,25. Zatem zgodnie ze wzorem (2) ostatecznie otrzymujemy: .

Przykład 2 Korzystając z różniczki funkcji, określ, o ile w przybliżeniu zmieni się wartość funkcji y=F(X)=(3X 3 +5)∙tg4 X zmniejszając wartość swojego argumentu X 0 = 0 o 0,01.

Rozwiązanie. Na mocy (1) zmiana funkcji y = f(X) w punkcie X 0 jest w przybliżeniu równe różnicy funkcji w tym punkcie dla wystarczająco małych wartości D X:

Oblicz różniczkę funkcji df(0). mamy D X= -0,01. Ponieważ F (X)= 9X 2 tg4 X + ((3X 3 +5)/ cos 2 4 X)∙4, w takim razie F (0)=5∙4=20 i df(0)=F (0)∙Δ X= 20 (–0,01) = –0,2.

Dlatego Δ F(0) ≈ –0,2, tj. przy zmniejszaniu wartości X 0 = 0 argument funkcji przez samą wartość funkcji 0,01 y=F(X) zmniejszy się o około 0,2.

Przykład 3 Niech funkcja popytu na produkt będzie . Wymagane jest znalezienie ilości popytu na produkt po cenie P 0 \u003d 3 den. i ustal, o ile w przybliżeniu wzrośnie popyt przy spadku ceny towarów o 0,2 jednostki pieniężnej.

Rozwiązanie. W cenie P 0 \u003d 3 den. wielkość popytu Q 0 =D(P 0)=270/9=30 jednostek dobra. Zmiana ceny Δ P= -0,2 den. jednostki Ze względu na (1) Δ Q (P 0) ≈ dQ (P 0). Obliczmy różnicę wielkości popytu na produkt.

Od tego czasu D (3) = –20 i

różnica wielkości zapotrzebowania dQ(3) = D  (3)∙Δ P= –20 (–0,2) = 4. Zatem Δ Q(3) ≈ 4, tj. gdy cena towaru spada P 0 \u003d 3 na 0,2 jednostki monetarnej. wielkość popytu na produkt wzrośnie o około 4 jednostki towaru i wyniesie około 30 + 4 = 34 jednostki towaru.

Pytania do samokontroli

1. Co nazywa się różniczką funkcji?

2. Jakie jest geometryczne znaczenie różniczki funkcji?

3. Wymień główne własności funkcji różniczkowej.

3. Napisz wzory, które pozwolą Ci znaleźć przybliżoną wartość funkcji za pomocą jej różniczki.