Różniczka funkcji

Funkcja jest wywoływana różniczkowalna w punkcie, ograniczające dla zbioru mi, jeśli jego przyrost Δ F(X 0) odpowiadające przyrostowi argumentu X, można przedstawić jako

Δ F(X 0) = A(X 0)(X - X 0) + ω (X - X 0), (1)

Gdzie ω (X - X 0) = O(X - X 0) o godz X → X 0 .

Wyświetlacz, tzw mechanizm różnicowy Funkcje F w punkcie X 0 i wartość A(X 0)H - wartość różnicowa w tym momencie.

Dla wartości różniczki funkcji F przyjęte oznaczenie df Lub df(X 0), jeśli chcesz wiedzieć, w którym momencie został obliczony. Zatem,

df(X 0) = A(X 0)H.

Dzielenie w (1) przez X - X 0 i celowanie X Do X 0, otrzymujemy A(X 0) = F"(X 0). Dlatego mamy

df(X 0) = F"(X 0)H. (2)

Porównując (1) i (2), widzimy, że wartość różnicy df(X 0) (kiedy F"(X 0) ≠ 0) jest główną częścią przyrostu funkcji F w punkcie X 0 , liniowy i jednocześnie jednorodny pod względem przyrostu H = X - X 0 .

Kryterium różniczkowalności funkcji

W celu uzyskania funkcji F była różniczkowalna w danym punkcie X 0 , konieczne i wystarczające jest, aby miał on w tym punkcie skończoną pochodną.

Niezmienniczość postaci pierwszej różniczki

Jeśli X jest zatem zmienną niezależną dx = X - X 0 (stały przyrost). W tym przypadku mamy

df(X 0) = F"(X 0)dx. (3)

Jeśli X = φ (T) jest więc funkcją różniczkowalną dx = φ" (T 0)dt. Stąd,

Formuła różniczkowa funkcji ma postać

gdzie jest różniczką zmiennej niezależnej.

Teraz niech będzie dana funkcja zespolona (różniczkowalna), gdzie , Następnie ze wzoru na pochodną funkcji zespolonej znajdujemy

ponieważ .

Więc, , tj. wzór różniczkowy ma tę samą postać dla zmiennej niezależnej i dla argumentu pośredniego, który jest funkcją różniczkowalną.

Ta właściwość nazywa się własnością niezmienniczość wzoru lub forma różniczki. Zauważ, że pochodna nie ma tej właściwości.

Zależność między ciągłością a różniczkowalnością.

Twierdzenie (warunek konieczny, aby funkcja była różniczkowalna). Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest w tym punkcie ciągła.

Dowód. Niech funkcja y=F(X) różniczkowalna w punkcie X 0 . W tym momencie zwiększmy argument  X. Funkcja zostanie zwiększona  Na. Znajdźmy .

Stąd, y=F(X) ciągłe w punkcie X 0 .

Konsekwencja. Jeśli X 0 jest punktem nieciągłości funkcji, to funkcja nie jest w nim różniczkowalna.

Odwrotność twierdzenia nie jest prawdziwa. Ciągłość nie oznacza różniczkowalności.

Mechanizm różnicowy. znaczenie geometryczne. Zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych.

Definicja

różniczka funkcji nazywamy liniową względem części przyrostu funkcji. Jest oznaczony jako kakili. Zatem:

Komentarz

Różniczka funkcji jest główną częścią jej przyrostu.

Komentarz

Wraz z pojęciem różniczki funkcji wprowadzono pojęcie różnicy argumentów. A-priorytet różnica argumentów istnieje przyrost argumentu:

Komentarz

Wzór na różniczkę funkcji można zapisać jako:

Stąd to rozumiemy

Oznacza to więc, że pochodną można przedstawić jako zwykły ułamek - stosunek różnic funkcji i argumentu.

Geometryczne znaczenie różniczki

Różniczka funkcji w punkcie jest równa przyrostowi rzędnej stycznej narysowanej na wykresie funkcji w tym punkcie, odpowiadającemu przyrostowi argumentu.

Podstawowe zasady różniczkowania. Pochodna stałej, pochodna sumy.

Niech funkcje i mają pochodne w punkcie. Następnie

1. Stały można usunąć ze znaku pochodnej.

5. Stała różnica równa się zeru.

2. Pochodna sumy/różnicy.

Pochodna sumy/różnicy dwóch funkcji jest równa sumie/różnicy pochodnych każdej z funkcji.

Podstawowe zasady różniczkowania. Pochodna produktu.

3. Pochodna produktu.

Podstawowe zasady różniczkowania. Pochodna funkcji zespolonej i odwrotnej.

5. Pochodna funkcji złożonej.

Pochodna funkcji zespolonej jest równa pochodnej tej funkcji względem argumentu pośredniego pomnożonej przez pochodną argumentu pośredniego względem argumentu głównego.

I mieć odpowiednio pochodne w punktach. Następnie

Twierdzenie

(Na pochodną funkcji odwrotnej)

Jeśli funkcja jest ciągła i ściśle monotoniczna w jakimś sąsiedztwie punktu i jest różniczkowalna w tym punkcie, to funkcja odwrotna ma pochodną w punkcie i .

Formuły różniczkowe. Pochodna funkcji wykładniczej.

Reguła różniczkowania złożonej funkcji doprowadzi nas do jednej niezwykłej i ważnej właściwości różniczki.

Niech funkcje będą takie, że można z nich złożyć funkcję zespoloną: . Jeśli są pochodne, to – zgodnie z regułą V – jest też pochodna

Zastępując jednak jego pochodną wyrażeniem (7) i zauważając, że istnieje różniczka x jako funkcja t, otrzymujemy ostatecznie:

tj. wróćmy do poprzedniej postaci różniczki!

Widzimy zatem, że postać różniczki może zostać zachowana, nawet jeśli stara zmienna niezależna zostanie zastąpiona nową. Zawsze możemy zapisać różniczkę y w postaci (5), niezależnie od tego, czy x jest zmienną niezależną, czy nie; Jedyna różnica polega na tym, że jeśli t jest wybrane jako zmienna niezależna, to oznacza to nie dowolny przyrost, ale różniczkę x jako funkcję Właściwość ta nazywana jest niezmienniczością postaci różniczki.

Ponieważ ze wzoru (5) bezpośrednio wynika wzór (6), który wyraża pochodną pod względem różniczek, ostatni wzór pozostaje ważny, bez względu na to, jaką zmienną niezależną (oczywiście tę samą w obu przypadkach) oblicza się nazwane różniczki.

Niech tak będzie np

Ustawiamy teraz Wtedy też będziemy mieli: Łatwo sprawdzić, że formuła

daje tylko inne wyrażenie na pochodną obliczoną powyżej.

Ta okoliczność jest szczególnie wygodna do wykorzystania w przypadkach, gdy zależność y od x nie jest określona bezpośrednio, ale zamiast tego dana jest zależność obu zmiennych x i y od jakiejś trzeciej, pomocniczej zmiennej (zwanej parametrem):

Zakładając, że obie te funkcje mają pochodne i że dla pierwszej z nich istnieje funkcja odwrotna, która ma pochodną, ​​łatwo zauważyć, że wtedy y również okazuje się funkcją x:

dla którego istnieje również pochodna. Obliczenie tej pochodnej można przeprowadzić zgodnie z powyższą zasadą:

bez przywracania bezpośredniej zależności y od x.

Na przykład, jeśli pochodną można zdefiniować, tak jak to zrobiono powyżej, w ogóle bez użycia zależności.

Jeżeli xiy traktujemy jako współrzędne prostokątne punktu na płaszczyźnie, to równania (8) przypisują każdej wartości parametru t pewnemu punktowi, który wraz ze zmianą t opisuje krzywą na płaszczyźnie. Równania (8) nazywane są równaniami parametrycznymi tej krzywej.

W przypadku specyfikacji krzywej parametrycznej wzór (10) pozwala bezpośrednio ustawić nachylenie stycznej za pomocą równań (8), bez przechodzenia do specyfikacji krzywej za pomocą równania (9); Dokładnie,

Komentarz. W szczególności możliwość wyrażenia pochodnej za pomocą różniczek względem dowolnej zmiennej prowadzi do tego, że wzory

wyrażając w notacji Leibniza reguły różniczkowania funkcji odwrotnej i funkcji zespolonej, stają się prostymi tożsamościami algebraicznymi (ponieważ wszystkie różniczki można tutaj przyjąć w odniesieniu do tej samej zmiennej). Nie należy jednak sądzić, że daje to nowe wyprowadzenie powyższych wzorów: po pierwsze, nie udowodniono tutaj istnienia pochodnych po lewej stronie, ale najważniejsze jest to, że zasadniczo wykorzystaliśmy niezmienniczość postaci różniczki , co samo w sobie jest konsekwencją reguły V.

Widzieliśmy, że różniczkę funkcji można zapisać jako:
(1),

Jeśli jest zmienną niezależną. Niech teraz istnieje złożona funkcja , tj.
,
i dlatego
. Jeżeli pochodne funkcji
I
istnieją więc
, jako pochodna funkcji zespolonej. Mechanizm różnicowy
Lub. Ale
i dlatego możemy pisać
, tj. uzyskać wyrażenie dla
jak w (1).

Wniosek: wzór (1) jest poprawny jak w przypadku kiedy jest zmienną niezależną, aw przypadku gdy jest funkcją zmiennej niezależnej . W pierwszym przypadku pod
jest rozumiana jako różniczka zmiennej niezależnej
, w drugim - różniczka funkcji (w tym przypadku
, mówiąc ogólnie). Ta właściwość zachowania kształtu (1) jest nazywana niezmienniczość formy różniczkowej.

Niezmienniczość postaci różniczki daje duże korzyści przy obliczaniu różniczek funkcji zespolonych.

Na przykład: do obliczenia
. Niezależnie od tego, czy zmienna zależna, czy niezależna , możemy pisać. Jeśli - funkcja np
, to znajdujemy
i korzystając z niezmienniczości postaci różniczki, mamy prawo zapisać.

§18. Pochodne wyższych rzędów.

Niech funkcja y \u003d  (x) będzie różniczkowalna na pewnym przedziale X, (tj. ma skończoną pochodną y 1 \u003d  1 (x) w każdym punkcie tego przedziału). Wtedy  1(x) jest w samym X funkcją x. Może się okazać, że w niektórych punktach lub w ogóle samo x 1(x) ma pochodną, ​​tj. istnieje pochodna pochodnej (y 1) 1 \u003d ( 1 (x) 1. W tym przypadku nazywa się to drugą pochodną lub pochodną drugiego rzędu. Są one oznaczone symbolami y 11,  11 ( x), d 2 y / dx 2. W razie potrzeby podkreśl, że pochodna jest w m.x 0, a następnie napisz

y 11 / x \u003d x 0 lub 11 (x 0) lub re 2 y / dx 2 / x \u003d x 0

pochodna y 1 nazywana jest pochodną pierwszego rzędu lub pierwszą pochodną.

Tak więc pochodna drugiego rzędu jest pochodną pochodnej pierwszego rzędu funkcji.

Całkiem podobnie pochodna (jeśli istnieje) pochodnej drugiego rzędu nazywana jest pochodną trzeciego rzędu lub pochodną trzeciego rzędu.

Oznacz (y 11) 1 \u003d y 111 \u003d 111 (x) \u003d d 3 y / dx 3 \u003d d 3  (x) / dx 3

Ogólnie pochodna n-tego rzędu funkcji y \u003d  (x) jest pochodną pochodnej (n-1) rzędu tej funkcji. (jeśli oczywiście istnieją).

wyznaczyć

Czytaj: n-ta pochodna y, z  (x); d n y przez d x w n-tym.

Czwarty, piąty itd. niewygodne jest oznaczanie kolejności kreskami, dlatego liczbę piszą w nawiasach, zamiast  v (x) piszą  (5) (x).

W nawiasach, aby nie pomylić n-tego rzędu pochodnej z n-tym stopniem funkcji.

Pochodne wyższego rzędu nazywane są pochodnymi wyższego rzędu.

Z samej definicji wynika, że ​​aby znaleźć n-tą pochodną, ​​należy znaleźć kolejno wszystkie poprzednie od pierwszej do (n-1)tej.

Przykłady: 1) y \u003d x 5; y 1 \u003d 5x 4; y 11 \u003d 20x 3;

y 111 \u003d 60x 2; y (4) =120x; y (5) =120; y(6) =0,…

2) y=ex; y 1 \u003d e x; y 11 \u003d e x; ...;

3) y=sinx; y 1 = cosx; y11 = -sinx; y 111 = -cosx; y (4) = grzechх;…

Zauważ, że druga pochodna ma pewne znaczenie mechaniczne.

Jeśli pierwszą pochodną toru względem czasu jest prędkość niejednostajnego ruchu prostoliniowego

V=ds/dt, gdzie S=f(t) jest równaniem ruchu, wtedy V 1 =dV/dt= d 2 S/dt 2 jest szybkością zmiany prędkości, tj. przyspieszenie ruchu:

za \u003d fa 11 (t) \u003d dV / dt \u003d re 2 S / dt 2.

Tak więc drugą pochodną ścieżki względem czasu jest przyspieszenie ruchu punktu - takie jest mechaniczne znaczenie drugiej pochodnej.

W wielu przypadkach możliwe jest napisanie wyrażenia na pochodną dowolnego rzędu, z pominięciem pośrednich.

Przykłady:

y=ex; (y) (n) = (mi x) (n) = mi x;

y=ax; y 1 \u003d za x lna; y 11 \u003d za x (lna) 2; y (n) = a x (lna) n;

y \u003d x α; y 1 \u003d αx α-1; y 11 =
; y (p) \u003d α (α-1) ... (α-n + 1) x α-n, z =n mamy

y (n) = (x n) (n) = n! Wszystkie pochodne rzędu powyżej n są zerowe.

y \u003d sinx; y 1 = cosx; y11 = -sinx; y 111 = -cosx; y (4) = sinх;… itd.

y 1 \u003d grzech (x + /2); y 11 \u003d grzech (x + 2 /2); y 111 \u003d grzech (x + 3 /2); itd., a następnie y (n) \u003d (sinx) (n) \u003d grzech (x + n /2).

Łatwo to ustalić przez kolejne różniczkowanie i ogólne wzory:

1) (CU) (n) = do (U) (n) ; 2) (U ± V) (n) = U (n) ± V (n)

Bardziej skomplikowany jest wzór na n-tą pochodną iloczynu dwóch funkcji (U·V) (n) . Nazywa się to formułą Leibniza.

Zdobądźmy ją

y \u003d U V; y 1 \u003d U 1 V + UV 1; y 11 \u003d U 11 V + U 1 V 1 + U 1 V 1 + UV 11 \u003d U 11 V + 2U 1 V 1 + UV 11;

y 111 \u003d U 111 V + U 11 V 1 + 2U 11 V 1 + 2U 1 V 11 + U 1 V 11 + UV 111 \u003d U 111 V + 3U 11 V 1 +3 U 1 V 11 + UV 111;

Podobnie otrzymujemy

y (4) \u003d U (4) V + 4 U 111 V 1 +6 U 11 V 11 +4 U 1 V 111 + UV (4) itp.

Łatwo zauważyć, że prawe strony wszystkich tych wzorów przypominają rozwinięcie potęg dwumianu U+V, (U+V) 2 , (U+V) 3 itd. Tylko zamiast potęg U i V są pochodne odpowiednich rzędów. Podobieństwo będzie szczególnie kompletne, jeśli w otrzymanych wzorach napiszemy zamiast U i V, U (0) i V (0) , tj. Pochodne zerowe funkcji U i V (same funkcje).

Rozszerzając to prawo na przypadek dowolnego n, otrzymujemy wzór ogólny

y(n) = (UV)(n) = U(n) V+ n/1! U (n-1) V 1 + n(n-1)/2! U (n-2) V (2) + n(n-1)(n-2)/3! U (n-3) V (3) +…+ n(n-1)…(n-k+1)/K! U (k) V (n-k) + ... + UV (n) - wzór Leibniza.

Przykład: znajdź (e x x) (n)

(e x) (n) \u003d mi x, x 1 \u003d 1, x 11 \u003d 0 i x (n) \u003d 0, zatem (e x x) (n) \u003d (e x) (n) x + n / 1 ! (e x) (n-1) x 1 \u003d mi x x + ne x \u003d mi x (x + n).