समाधान के साथ फार्म प्रमेय उदाहरण। बुनियादी अनुसंधान

2 से बड़े पूर्णांकों के लिए, समीकरण x n + y n = z n का प्राकृत संख्याओं में कोई शून्येतर हल नहीं है।

आपको शायद अपने स्कूल के दिनों की याद होगी पाइथागोरस प्रमेय: एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। आप क्लासिक समकोण त्रिभुज को भी याद कर सकते हैं जिसकी भुजाएँ 3: 4: 5 के रूप में संबंधित हैं। इसके लिए, पाइथागोरस प्रमेय इस तरह दिखता है:

यह गैर-शून्य पूर्णांकों में सामान्यीकृत पाइथागोरस समीकरण को हल करने का एक उदाहरण है एन= 2. Fermat's Last Theorem (जिसे "Fermat's Last Theorem" और "Fermat's Last Theorem" भी कहा जाता है) यह कथन है कि, मानों के लिए एन> फॉर्म के 2 समीकरण एक्स एन + Y n = जेड एनप्राकृतिक संख्याओं में शून्येतर विलयन नहीं होते हैं।

Fermat's Last Theorem का इतिहास बहुत ही मनोरंजक और शिक्षाप्रद है, न कि केवल गणितज्ञों के लिए। पियरे डी फर्मेट ने गणित के विभिन्न क्षेत्रों के विकास में योगदान दिया, लेकिन उनकी वैज्ञानिक विरासत का मुख्य हिस्सा मरणोपरांत ही प्रकाशित हुआ। तथ्य यह है कि फ़र्मेट के लिए गणित एक शौक की तरह था, न कि पेशेवर पेशा। उन्होंने अपने समय के प्रमुख गणितज्ञों के साथ पत्राचार किया, लेकिन अपने काम को प्रकाशित करने की कोशिश नहीं की। फ़र्मेट के वैज्ञानिक लेखन ज्यादातर निजी पत्राचार और खंडित नोटों के रूप में पाए जाते हैं, जिन्हें अक्सर विभिन्न पुस्तकों के हाशिये पर बनाया जाता है। यह हाशिये पर है (डायोफैंटस द्वारा प्राचीन ग्रीक अंकगणित के दूसरे खंड का। - टिप्पणी। अनुवादक) गणितज्ञ की मृत्यु के कुछ ही समय बाद, वंशजों ने प्रसिद्ध प्रमेय और पोस्टस्क्रिप्ट के निर्माण की खोज की:

« मुझे इसका वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण मिला, लेकिन ये सीमाएँ उसके लिए बहुत संकीर्ण हैं।».

काश, जाहिरा तौर पर, फ़र्मेट ने कभी भी "चमत्कारी प्रमाण" को लिखने की जहमत नहीं उठाई, और वंशजों ने इसे तीन शताब्दियों से अधिक समय तक खोजा। फ़र्मेट की सभी असमान वैज्ञानिक विरासतों में से, जिसमें कई आश्चर्यजनक कथन हैं, यह ग्रेट थ्योरम था जिसने समाधान का डटकर विरोध किया।

जिसने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का प्रमाण नहीं लिया - सब व्यर्थ! एक और महान फ्रांसीसी गणितज्ञ, रेने डेसकार्टेस (रेने डेसकार्टेस, 1596-1650), ने फ़र्मेट को "ब्रैगगार्ट" कहा, और अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन वालिस (जॉन वालिस, 1616-1703) ने उन्हें "लानत फ्रांसीसी" कहा। हालाँकि, फ़र्मेट ने खुद को मामले के लिए अपने प्रमेय के प्रमाण को पीछे छोड़ दिया एन= 4. सबूत के साथ एन= 3 को 18वीं शताब्दी के महान स्विस-रूसी गणितज्ञ लियोनार्ड यूलर (1707-83) द्वारा हल किया गया था, जिसके बाद, इसके लिए प्रमाण खोजने में विफल रहे एन> 4, खोए हुए सबूतों की चाबी खोजने के लिए मजाक में फर्मेट के घर की तलाशी लेने की पेशकश की। 19वीं शताब्दी में, संख्या सिद्धांत के नए तरीकों ने 200 के भीतर कई पूर्णांकों के लिए बयान को साबित करना संभव बना दिया, लेकिन, फिर से, सभी के लिए नहीं।

1908 में इस कार्य के लिए डीएम 100,000 का पुरस्कार स्थापित किया गया था। पुरस्कार राशि जर्मन उद्योगपति पॉल वोल्फस्केहल को दी गई थी, जो किंवदंती के अनुसार, आत्महत्या करने वाला था, लेकिन फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय से इतना प्रभावित हुआ कि उसने मरने के बारे में अपना विचार बदल दिया। मशीनों और फिर कंप्यूटरों को जोड़ने के आगमन के साथ, मूल्यों की पट्टी एनद्वितीय विश्व युद्ध की शुरुआत तक 617 तक, 1954 में 4001 तक, 1976 में 125,000 तक ऊपर उठना शुरू हुआ। 20वीं शताब्दी के अंत में, लॉस एलामोस (न्यू मैक्सिको, यूएसए) में सैन्य प्रयोगशालाओं के सबसे शक्तिशाली कंप्यूटरों को पृष्ठभूमि में फ़र्मेट समस्या को हल करने के लिए प्रोग्राम किया गया था (एक व्यक्तिगत कंप्यूटर के स्क्रीन सेवर मोड के समान)। इस प्रकार, यह दिखाना संभव था कि प्रमेय अविश्वसनीय रूप से बड़े मूल्यों के लिए सही है एक्स, वाई, जेडतथा एन, लेकिन यह एक कठोर प्रमाण के रूप में काम नहीं कर सका, क्योंकि निम्न में से कोई भी मान एनया प्राकृत संख्याओं के त्रिक पूरे प्रमेय का खंडन कर सकते हैं।

अंत में, 1994 में, अंग्रेजी गणितज्ञ एंड्रयू जॉन विल्स (एंड्रयू जॉन विल्स, बी। 1953) ने प्रिंसटन में काम करते हुए, फ़र्मेट्स लास्ट थ्योरम का एक प्रमाण प्रकाशित किया, जिसे कुछ संशोधनों के बाद संपूर्ण माना गया। प्रमाण में एक सौ से अधिक पत्रिका पृष्ठ थे और यह उच्च गणित के आधुनिक उपकरण के उपयोग पर आधारित था, जिसे फ़र्मेट के युग में विकसित नहीं किया गया था। तो फिर, किताब के हाशिये पर एक संदेश छोड़कर फर्मेट का क्या मतलब था कि उसे सबूत मिल गया है? इस विषय पर मैंने जिन गणितज्ञों से बात की है उनमें से अधिकांश ने बताया है कि सदियों से फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के पर्याप्त से अधिक गलत प्रमाण मिले हैं, और यह संभावना है कि फ़र्मेट ने स्वयं एक समान प्रमाण पाया लेकिन त्रुटि को देखने में विफल रहा। यह। हालाँकि, यह संभव है कि अभी भी फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के कुछ संक्षिप्त और सुरुचिपूर्ण प्रमाण हैं, जो अभी तक किसी को नहीं मिले हैं। केवल एक ही बात निश्चित रूप से कही जा सकती है: आज हम निश्चित रूप से जानते हैं कि प्रमेय सत्य है। मुझे लगता है कि अधिकांश गणितज्ञ, एंड्रयू विल्स के साथ तहे दिल से सहमत होंगे, जिन्होंने अपने प्रमाण के बारे में टिप्पणी की, "अब अंत में मेरा दिमाग शांत है।"

कई साल पहले, मुझे ताशकंद से वालेरी मुराटोव का एक पत्र मिला था, जो लिखावट को देखते हुए, एक युवा उम्र का व्यक्ति था, जो तब घर संख्या 31 में कोमुनिश्चेस्काया स्ट्रीट पर रहता था। आदमी निर्धारित किया गया था: "सीधे बिंदु पर। कितना क्या आप मुझे फ़र्मेट के प्रमेय को साबित करने के लिए भुगतान करेंगे? कम से कम 500 रूबल के लिए उपयुक्त है। दूसरी बार, मैं इसे आपको मुफ्त में साबित कर देता, लेकिन अब मुझे पैसे चाहिए ... "

एक अद्भुत विरोधाभास: बहुत कम लोग जानते हैं कि फ़र्मेट कौन है, वह कब रहता था और उसने क्या किया। यहां तक ​​कि कम लोग भी उनके महान प्रमेय का सबसे सामान्य शब्दों में वर्णन कर सकते हैं। लेकिन हर कोई जानता है कि किसी न किसी प्रकार का फ़र्मेट का प्रमेय है, जिसके प्रमाण पर पूरी दुनिया के गणितज्ञ 300 से अधिक वर्षों से संघर्ष कर रहे हैं, लेकिन वे इसे साबित नहीं कर सकते हैं!

कई महत्वाकांक्षी लोग हैं, और यह चेतना कि कुछ ऐसा है जो दूसरे नहीं कर सकते, उनकी महत्वाकांक्षा को और बढ़ावा देता है। इसलिए, ग्रेट थ्योरम के हजारों (!) सबूत आए और दुनिया भर की अकादमियों, वैज्ञानिक संस्थानों और यहां तक ​​​​कि अखबार के संपादकीय कार्यालयों में आते रहे - छद्म वैज्ञानिक शौकिया प्रदर्शन का एक अभूतपूर्व और कभी नहीं तोड़ा गया रिकॉर्ड। यहां तक ​​​​कि एक शब्द भी है: "फर्माटिस्ट", यानी, महान प्रमेय को साबित करने की इच्छा से ग्रस्त लोग, जिन्होंने अपने काम का मूल्यांकन करने की मांगों के साथ पेशेवर गणितज्ञों को पूरी तरह से समाप्त कर दिया। प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ एडमंड लैंडौ ने एक मानक भी तैयार किया, जिसके अनुसार उन्होंने उत्तर दिया: "फर्मेट के प्रमेय के आपके प्रमाण में पृष्ठ पर एक त्रुटि है ...", और उनके स्नातक छात्रों ने पृष्ठ संख्या नीचे रख दी। और 1994 की गर्मियों में, दुनिया भर के समाचार पत्र पूरी तरह से सनसनीखेज कुछ रिपोर्ट करते हैं: महान प्रमेय सिद्ध हो गया है!

तो, फ़र्मेट कौन है, समस्या का सार क्या है और क्या यह वास्तव में हल हो गया है? पियरे फ़र्मेट का जन्म 1601 में एक धनी और सम्मानित व्यक्ति के परिवार में हुआ था - उन्होंने अपने पैतृक शहर ब्यूमोंट में दूसरे कौंसल के रूप में सेवा की - यह मेयर के सहायक की तरह कुछ है। पियरे ने पहले फ्रांसिस्कन भिक्षुओं के साथ अध्ययन किया, फिर टूलूज़ में कानून के संकाय में, जहां उन्होंने वकालत का अभ्यास किया। हालाँकि, Fermat के हितों की सीमा न्यायशास्त्र से बहुत आगे निकल गई। शास्त्रीय भाषाशास्त्र में उनकी विशेष रुचि थी, प्राचीन लेखकों के ग्रंथों पर उनकी टिप्पणी ज्ञात है। और दूसरा जुनून गणित है।

17वीं शताब्दी में, जैसा कि, वास्तव में, कई वर्षों बाद, ऐसा कोई पेशा नहीं था: गणितज्ञ। इसलिए, उस समय के सभी महान गणितज्ञ "अंशकालिक" गणितज्ञ थे: रेने डेसकार्टेस ने सेना में सेवा की, फ्रेंकोइस वियत एक वकील थे, फ्रांसेस्को कैवेलियरी एक भिक्षु थे। तब कोई वैज्ञानिक पत्रिकाएँ नहीं थीं, और विज्ञान के क्लासिक पियरे फ़र्मेट ने अपने जीवनकाल में एक भी वैज्ञानिक कार्य प्रकाशित नहीं किया था। "शौकियाओं" का एक संकीर्ण चक्र था, जिन्होंने उनके लिए विभिन्न दिलचस्प समस्याओं को हल किया और इस बारे में एक-दूसरे को पत्र लिखे, कभी-कभी बहस करते हुए (जैसे डेसकार्टेस के साथ फर्मेट), लेकिन, मूल रूप से, समान विचारधारा वाले बने रहे। वे नए गणित के संस्थापक बन गए, शानदार बीजों के बोने वाले, जिनसे आधुनिक गणितीय ज्ञान का शक्तिशाली वृक्ष बढ़ने लगा, शक्ति और शाखाएँ प्राप्त हुईं।

तो, फ़र्मेट वही "शौकिया" था। टूलूज़ में, जहां वे 34 वर्षों तक रहे, हर कोई उन्हें जानता था, सबसे पहले, चैंबर ऑफ इन्वेस्टिगेशन के सलाहकार और एक अनुभवी वकील के रूप में। 30 साल की उम्र में, उन्होंने शादी की, उनके तीन बेटे और दो बेटियां थीं, कभी-कभी व्यापार यात्राएं होती थीं, और उनमें से एक के दौरान 63 साल की उम्र में अचानक उनकी मृत्यु हो गई। सभी! थ्री मस्किटियर्स के समकालीन इस व्यक्ति का जीवन आश्चर्यजनक रूप से असमान और रोमांच से रहित है। एडवेंचर्स उनके महान प्रमेय के हिस्से में गिर गया। हम फ़र्मेट की संपूर्ण गणितीय विरासत के बारे में बात नहीं करेंगे, और उनके बारे में लोकप्रिय तरीके से बात करना मुश्किल है। इसके लिए मेरा शब्द लें: यह विरासत महान और विविध है। यह दावा कि महान प्रमेय उनके काम का शिखर है, अत्यधिक बहस का विषय है। यह सिर्फ इतना है कि ग्रेट थ्योरम का भाग्य आश्चर्यजनक रूप से दिलचस्प है, और गणित के रहस्यों में एकतरफा लोगों की विशाल दुनिया हमेशा से ही प्रमेय में नहीं, बल्कि इसके आसपास की हर चीज में रुचि रखती है ...

इस पूरी कहानी की जड़ों को पुरातनता में खोजा जाना चाहिए, जो कि फ़र्मेट द्वारा प्रिय है। लगभग तीसरी शताब्दी में, ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस अलेक्जेंड्रिया में रहते थे, एक वैज्ञानिक जो मूल तरीके से सोचता था, बॉक्स के बाहर सोचता था और बॉक्स के बाहर अपने विचार व्यक्त करता था। उनके अंकगणित के 13 खंडों में से केवल 6 हमारे पास आए हैं।जब फ़र्मेट 20 वर्ष के थे, तब उनकी रचनाओं का एक नया अनुवाद सामने आया। फ़र्मेट को डायोफैंटस का बहुत शौक था, और ये लेखन उनकी संदर्भ पुस्तक थी। इसके हाशिये पर, फ़र्मेट ने अपना ग्रेट थ्योरम लिखा, जो अपने सबसे सरल आधुनिक रूप में इस तरह दिखता है: समीकरण Xn + Yn = Zn का पूर्णांकों में n - 2 से अधिक के लिए कोई हल नहीं है। (n = 2 के लिए, समाधान स्पष्ट है : Z2 + 42 = 52)। उसी स्थान पर, डायोफैंटाइन वॉल्यूम के हाशिये पर, फ़र्मेट कहते हैं: "मैंने यह वास्तव में अद्भुत प्रमाण खोजा, लेकिन ये मार्जिन उसके लिए बहुत संकीर्ण हैं।"

पहली नज़र में, छोटी बात सरल है, लेकिन जब अन्य गणितज्ञों ने इस "सरल" प्रमेय को साबित करना शुरू किया, तो सौ साल तक कोई भी सफल नहीं हुआ। अंत में, महान लियोनहार्ड यूलर ने इसे n = 4 के लिए साबित किया, फिर 20 (!) वर्षों के बाद - n = 3 के लिए। और फिर से काम कई वर्षों तक रुका रहा। अगली जीत जर्मन पीटर डिरिचलेट (1805-1859) और फ्रांसीसी एंड्रिएन लेजेंडर (1752-1833) की है, जिन्होंने स्वीकार किया कि फ़र्मेट n = 5 पर सही था। तब फ्रांसीसी गेब्रियल लैमेट (1795-1870) ने ऐसा ही किया। n = 7. अंत में, पिछली शताब्दी के मध्य में, जर्मन अर्नस्ट कमर (1810-1893) ने n के सभी मानों के लिए महान प्रमेय को 100 से कम या उसके बराबर साबित किया। इसके अलावा, उन्होंने इसे उन तरीकों का उपयोग करके साबित किया जो कर सकते थे फ़र्मेट को नहीं पता, जिसने ग्रेट थ्योरम के चारों ओर रहस्य के घूंघट को और मजबूत किया।

इस प्रकार, यह पता चला कि वे फर्मेट के प्रमेय को "टुकड़ा-टुकड़ा" साबित कर रहे थे, लेकिन कोई भी "पूरी तरह से" करने में सक्षम नहीं था। सबूतों के नए प्रयासों से केवल n के मूल्यों में मात्रात्मक वृद्धि हुई। सभी ने समझा कि, बहुत काम करने के बाद, महान प्रमेय को मनमाने ढंग से बड़ी संख्या n के लिए साबित करना संभव है, लेकिन फ़र्मेट ने किसी भी मूल्य के बारे में बात की इसमें से 2 से अधिक! यह "मनमाने ढंग से बड़ा" और "कोई भी" के बीच इस अंतर में था कि समस्या का पूरा अर्थ केंद्रित था।

हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि फर्मग के प्रमेय को साबित करने का प्रयास केवल किसी प्रकार का गणितीय खेल नहीं था, एक जटिल रिबस का समाधान था। इन प्रमाणों के क्रम में, नए गणितीय क्षितिज खोले गए, समस्याएँ उत्पन्न हुईं और हल हुईं, जो गणितीय वृक्ष की नई शाखाएँ बन गईं। महान जर्मन गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट (1862-1943) ने ग्रेट थ्योरम को "विज्ञान पर एक विशेष और प्रतीत होने वाली महत्वहीन समस्या का कितना उत्तेजक प्रभाव हो सकता है" के उदाहरण के रूप में उद्धृत किया। वही कुमेर, फ़र्मेट के प्रमेय पर काम करते हुए, खुद उन प्रमेयों को साबित करते हैं जिन्होंने संख्या सिद्धांत, बीजगणित और कार्य सिद्धांत की नींव बनाई। इसलिए महान प्रमेय को सिद्ध करना कोई खेल नहीं है, बल्कि एक वास्तविक विज्ञान है।

समय बीतता गया, और इलेक्ट्रॉनिक्स पेशेवर "fsrmatnts" की सहायता के लिए आए। नई विधियों के इलेक्ट्रॉनिक दिमाग का आविष्कार नहीं हो सका, लेकिन उन्होंने गति पकड़ ली। 80 के दशक की शुरुआत के आसपास, फर्मेट की प्रमेय को कंप्यूटर की मदद से n 5500 से कम या उसके बराबर साबित किया गया था। धीरे-धीरे, यह आंकड़ा बढ़कर 100,000 हो गया, लेकिन सभी ने समझा कि इस तरह का "संचय" शुद्ध तकनीक की बात है, जिससे दिमाग या दिल के लिए कुछ भी नहीं। वे ग्रेट थ्योरम के किले को "सिर पर" नहीं ले सके और गोल चक्कर युद्धाभ्यास की तलाश करने लगे।

1980 के दशक के मध्य में, युवा गणितज्ञ जी. फ़िल्टिंग्स ने तथाकथित "मोर्डेल के अनुमान" को साबित कर दिया, जो, वैसे, किसी भी गणितज्ञ द्वारा 61 वर्षों तक "पहुंच से बाहर" भी था। उम्मीद जगी कि अब, तो बोलने के लिए, "फ्लैंक से हमला", फर्मेट के प्रमेय को भी हल किया जा सकता है। हालांकि तब कुछ नहीं हुआ। 1986 में, जर्मन गणितज्ञ गेरहार्ड फ्रे ने Essesche में एक नई प्रूफ विधि का प्रस्ताव रखा। मैं इसे कड़ाई से समझाने का उपक्रम नहीं करता, लेकिन गणितीय में नहीं, लेकिन सामान्य मानव भाषा में, यह कुछ ऐसा लगता है: यदि हम सुनिश्चित करते हैं कि किसी अन्य प्रमेय का प्रमाण अप्रत्यक्ष है, तो किसी तरह से फ़र्मेट के प्रमेय का रूपांतरित प्रमाण है , तो, इसलिए, हम महान प्रमेय सिद्ध करेंगे। एक साल बाद, बर्कले के अमेरिकी केनेथ रिबेट ने दिखाया कि फ्रे सही था और वास्तव में, एक प्रमाण को दूसरे में घटाया जा सकता है। दुनिया भर के कई गणितज्ञों ने यह रास्ता अपनाया है। हमने विक्टर अलेक्जेंड्रोविच कोलिवानोव द्वारा महान प्रमेय को सिद्ध करने के लिए बहुत कुछ किया है। अभेद्य किले की तीन सौ साल पुरानी दीवारें कांप उठीं। गणितज्ञों ने महसूस किया कि यह लंबे समय तक नहीं टिकेगा।

1993 की गर्मियों में, प्राचीन कैम्ब्रिज में, आइजैक न्यूटन इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमैटिकल साइंसेज में, दुनिया के सबसे प्रमुख गणितज्ञों में से 75 अपनी समस्याओं पर चर्चा करने के लिए एकत्र हुए। उनमें से प्रिंसटन विश्वविद्यालय के अमेरिकी प्रोफेसर एंड्रयू विल्स थे, जो संख्या सिद्धांत के एक प्रमुख विशेषज्ञ थे। सभी जानते थे कि वह ग्रेट थ्योरम पर कई सालों से काम कर रहे थे। विल्स ने तीन प्रस्तुतियाँ दीं, और आखिरी में, 23 जून, 1993 को, अंत में, ब्लैकबोर्ड से हटते हुए, उन्होंने मुस्कुराते हुए कहा:

मुझे लगता है कि मैं जारी नहीं रखूंगा ...

पहले तो सन्नाटा था, फिर तालियों की गड़गड़ाहट। हॉल में बैठे लोग समझने के लिए पर्याप्त योग्य थे: फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सिद्ध हो गया है! किसी भी स्थिति में, उपस्थित लोगों में से किसी को भी उपरोक्त प्रमाण में कोई त्रुटि नहीं मिली। न्यूटन इंस्टीट्यूट के एसोसिएट डायरेक्टर पीटर गोडार्ड ने संवाददाताओं से कहा:

"ज्यादातर विशेषज्ञों ने नहीं सोचा था कि वे अपने जीवन के बाकी हिस्सों का पता लगाएंगे। यह हमारी सदी के गणित की सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक है...

कई महीने बीत चुके हैं, कोई टिप्पणी या खंडन नहीं हुआ। सच है, विल्स ने अपना प्रमाण प्रकाशित नहीं किया, लेकिन केवल अपने काम के तथाकथित प्रिंटों को अपने सहयोगियों के एक बहुत ही संकीर्ण दायरे में भेजा, जो स्वाभाविक रूप से गणितज्ञों को इस वैज्ञानिक सनसनी पर टिप्पणी करने से रोकता है, और मैं शिक्षाविद लुडविग दिमित्रिच फडदेव को समझता हूं, किसने कहा:

- मैं कह सकता हूं कि सनसनी तब हुई जब मैंने अपनी आंखों से सबूत देखा।

फद्दीव का मानना ​​है कि विल्स के जीतने की संभावना बहुत ज्यादा है।

"मेरे पिता, संख्या सिद्धांत के एक प्रसिद्ध विशेषज्ञ, उदाहरण के लिए, सुनिश्चित थे कि प्रमेय सिद्ध होगा, लेकिन प्राथमिक तरीकों से नहीं," उन्होंने कहा।

हमारे एक अन्य शिक्षाविद्, विक्टर पावलोविच मास्लोव, इस खबर को लेकर संशय में थे, और उनका मानना ​​है कि महान प्रमेय का प्रमाण कोई वास्तविक गणितीय समस्या नहीं है। अपने वैज्ञानिक हितों के संदर्भ में, अनुप्रयुक्त गणित परिषद के अध्यक्ष, मास्लोव, "किण्वक" से बहुत दूर हैं, और जब वे कहते हैं कि महान प्रमेय का पूर्ण समाधान केवल खेल हित का है, तो कोई भी उन्हें समझ सकता है। हालांकि, मैं यह नोट करने का साहस करता हूं कि किसी भी विज्ञान में प्रासंगिकता की अवधारणा एक परिवर्तनशील है। 90 साल पहले, शायद, रदरफोर्ड को भी बताया गया था: "ठीक है, ठीक है, ठीक है, रेडियोधर्मी क्षय का सिद्धांत ... तो क्या? इसका क्या उपयोग है? .."

महान प्रमेय के प्रमाण पर काम ने पहले ही बहुत सारा गणित दिया है, और कोई उम्मीद कर सकता है कि यह अधिक देगा।

"विल्स ने जो किया है वह गणितज्ञों को अन्य क्षेत्रों में ले जाएगा," पीटर गोडार्ड ने कहा। - बल्कि, यह विचार की किसी एक पंक्ति को बंद नहीं करता है, बल्कि नए प्रश्न उठाता है जिनके उत्तर की आवश्यकता होगी ...

मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के प्रोफेसर मिखाइल इलिच ज़ेलिकिन ने मुझे वर्तमान स्थिति इस तरह से समझाया:

विल्स के काम में किसी को कोई गलती नजर नहीं आती। लेकिन इस कार्य को वैज्ञानिक तथ्य बनने के लिए यह आवश्यक है कि कई प्रतिष्ठित गणितज्ञ स्वतंत्र रूप से इस प्रमाण को दोहराएं और इसकी सत्यता की पुष्टि करें। गणितीय समुदाय द्वारा विल्स के काम को मान्यता देने के लिए यह एक अनिवार्य शर्त है...

इसके लिए कितना समय लगेगा?

मैंने यह प्रश्न संख्या सिद्धांत के क्षेत्र में हमारे अग्रणी विशेषज्ञों में से एक, डॉक्टर ऑफ फिजिकल एंड मैथमैटिकल साइंसेज एलेक्सी निकोलाइविच पारशिन से पूछा था।

एंड्रयू विल्स के पास उनके आगे काफी समय है...

तथ्य यह है कि 13 सितंबर, 1907 को, जर्मन गणितज्ञ पी। वोल्फस्केल, जो गणितज्ञों के विशाल बहुमत के विपरीत, एक अमीर व्यक्ति थे, ने 100 हजार अंक उस व्यक्ति को दिए, जो अगले 100 वर्षों में महान प्रमेय को साबित करेगा। सदी की शुरुआत में, वसीयत की गई राशि से ब्याज प्रसिद्ध गेटगैंगेंट विश्वविद्यालय के खजाने में चला गया। इस पैसे का इस्तेमाल प्रमुख गणितज्ञों को व्याख्यान देने और वैज्ञानिक कार्य करने के लिए आमंत्रित करने के लिए किया गया था। उस समय, डेविड हिल्बर्ट, जिनका मैं पहले ही उल्लेख कर चुका हूँ, पुरस्कार आयोग के अध्यक्ष थे। वह प्रीमियम का भुगतान नहीं करना चाहता था।

"सौभाग्य से," महान गणितज्ञ ने कहा, "ऐसा लगता है कि हमारे अलावा कोई गणितज्ञ नहीं है, जो इस कार्य को करने में सक्षम होगा, लेकिन मैं कभी भी उस हंस को मारने की हिम्मत नहीं करूंगा जो हमारे लिए सुनहरे अंडे देती है। "

समय सीमा से पहले - 2007, वोल्फस्केल द्वारा नामित, कुछ साल बाकी हैं, और, मुझे लगता है, "हिल्बर्ट के चिकन" पर एक गंभीर खतरा मंडरा रहा है। लेकिन यह वास्तव में पुरस्कार के बारे में नहीं है। यह विचार की जिज्ञासा और मानवीय दृढ़ता के बारे में है। उन्होंने तीन सौ से अधिक वर्षों तक संघर्ष किया, लेकिन फिर भी उन्होंने इसे साबित कर दिया!

और आगे। मेरे लिए, इस पूरी कहानी में सबसे दिलचस्प बात यह है कि: फ़र्मेट ने स्वयं अपने महान प्रमेय को कैसे सिद्ध किया? आखिरकार, आज की सभी गणितीय तरकीबें उसके लिए अज्ञात थीं। और क्या उन्होंने इसे बिल्कुल साबित किया? आखिरकार, एक संस्करण है जिसे उन्होंने साबित कर दिया था, लेकिन उन्होंने खुद एक त्रुटि पाई, और इसलिए उन्होंने अन्य गणितज्ञों को सबूत नहीं भेजे, लेकिन डायोफैंटाइन वॉल्यूम के मार्जिन में प्रविष्टि को पार करना भूल गए। इसलिए, मुझे ऐसा लगता है कि महान प्रमेय का प्रमाण, जाहिर है, हुआ था, लेकिन फ़र्मेट के प्रमेय का रहस्य बना रहा, और यह संभावना नहीं है कि हम इसे कभी प्रकट करेंगे ...

शायद फ़र्मेट से गलती हुई थी, लेकिन जब उन्होंने लिखा था, तो उनसे गलती नहीं हुई थी: "शायद यह दिखाने के लिए कि मेरे पूर्वजों को सब कुछ नहीं पता था, और यह उन लोगों की चेतना में प्रवेश कर सकता है जो मेरे बाद आएंगे। अपने बेटों को मशाल..."

पियरे डी फ़र्मेट, अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस के "अंकगणित" को पढ़ते हुए और इसकी समस्याओं पर चिंतन करते हुए, पुस्तक के हाशिये में संक्षिप्त टिप्पणियों के रूप में अपने प्रतिबिंबों के परिणामों को लिखने की आदत थी। किताब के हाशिये पर डायोफैंटस की आठवीं समस्या के खिलाफ, फ़र्मेट ने लिखा: " इसके विपरीत, न तो एक घन को दो घनों में, न ही एक द्वि-वर्ग को दो द्वि-वर्गों में विघटित करना असंभव है, और सामान्य तौर पर, एक वर्ग से बड़ी कोई शक्ति एक ही घातांक के साथ दो घातों में नहीं होती है। मैंने इसका वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण खोजा है, लेकिन ये मार्जिन इसके लिए बहुत संकीर्ण हैं।» / ईटी बेल "गणित के निर्माता"। एम., 1979, पृ.69/. मैं आपके ध्यान में फार्म प्रमेय का एक प्रारंभिक प्रमाण लाता हूं, जिसे कोई भी हाई स्कूल का छात्र समझ सकता है जो गणित का शौकीन है।

आइए हम डायोफैंटाइन समस्या पर फ़र्मेट की टिप्पणी की तुलना फ़र्मेट के महान प्रमेय के आधुनिक सूत्रीकरण से करें, जिसमें एक समीकरण का रूप होता है।
« समीकरण

एक्स एन + वाई एन = जेड एन(जहाँ n दो से बड़ा पूर्णांक है)

धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है»

टिप्पणी कार्य के साथ तार्किक संबंध में है, विषय के साथ विधेय के तार्किक संबंध के समान। डायोफैंटस की समस्या से जो पुष्टि होती है, इसके विपरीत, फ़र्मेट की टिप्पणी द्वारा पुष्टि की जाती है।

फ़र्मेट की टिप्पणी की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: यदि तीन अज्ञात के साथ द्विघात समीकरण में पाइथागोरस संख्याओं के सभी त्रिगुणों के सेट पर अनंत संख्या में समाधान हैं, तो, इसके विपरीत, वर्ग से अधिक डिग्री में तीन अज्ञात के साथ एक समीकरण

समीकरण में डायोफैंटाइन समस्या के साथ इसके संबंध का कोई संकेत भी नहीं है। उनके कथन के लिए प्रमाण की आवश्यकता होती है, लेकिन इसकी कोई शर्त नहीं है जिससे यह पता चलता है कि इसका सकारात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

मुझे ज्ञात समीकरण के प्रमाण के वेरिएंट को निम्न एल्गोरिथम में घटाया गया है।

1. Fermat के प्रमेय के समीकरण को इसके निष्कर्ष के रूप में लिया जाता है, जिसकी वैधता को प्रमाण की सहायता से सत्यापित किया जाता है।
2. एक ही समीकरण कहा जाता है मूलवह समीकरण जिससे उसका प्रमाण आगे बढ़ना चाहिए।

परिणाम एक तनातनी है: यदि किसी समीकरण का धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है, तो इसका धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।"। तनातनी का प्रमाण स्पष्ट रूप से गलत है और किसी भी अर्थ से रहित है। लेकिन यह विरोधाभास से साबित होता है।

• एक धारणा बनाई जाती है जो सिद्ध किए जाने वाले समीकरण द्वारा बताए गए के विपरीत है। इसे मूल समीकरण का खंडन नहीं करना चाहिए, लेकिन यह करता है। बिना सबूत के जो स्वीकार किया जाता है उसे साबित करना और बिना सबूत के स्वीकार करना जो साबित करने के लिए जरूरी है, उसका कोई मतलब नहीं है।
• स्वीकृत धारणा के आधार पर, यह साबित करने के लिए बिल्कुल सही गणितीय संचालन और क्रियाएं की जाती हैं कि यह मूल समीकरण का खंडन करता है और गलत है।

इसलिए, अब 370 वर्षों के लिए, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का प्रमाण गणित के विशेषज्ञों और प्रेमियों का एक असंभव सपना बना हुआ है।

मैंने समीकरण को प्रमेय के निष्कर्ष के रूप में लिया, और डायोफैंटस की आठवीं समस्या और इसके समीकरण को प्रमेय की स्थिति के रूप में लिया।

"अगर समीकरण एक्स 2 + वाई 2 = जेड 2 (1) पाइथागोरस संख्याओं के सभी त्रिगुणों के समुच्चय पर समाधान का एक अनंत सेट है, फिर, इसके विपरीत, समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 (2) धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय पर कोई हल नहीं है।"

सबूत।

लेकिन)सभी जानते हैं कि पाइथागोरस संख्याओं के सभी त्रिगुणों के समुच्चय पर समीकरण (1) के अनंत हल हैं। आइए हम सिद्ध करें कि पाइथागोरस संख्याओं का कोई भी त्रिक, जो समीकरण (1) का हल है, समीकरण (2) का हल नहीं है।

समानता की उत्क्रमणीयता के नियम के आधार पर, समीकरण (1) के पक्षों को आपस में बदल दिया जाता है। पाइथागोरस संख्या (जेड, एक्स, वाई) एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और वर्गों के रूप में व्याख्या की जा सकती है (x2, y2, z2) इसके कर्ण और पैरों पर बने वर्गों के क्षेत्रों के रूप में व्याख्या की जा सकती है।

हम समीकरण (1) के वर्गों को मनमानी ऊंचाई से गुणा करते हैं एच :

जेड 2 एच = एक्स 2 एच + वाई 2 एच (3)

समीकरण (3) की व्याख्या एक समानांतर चतुर्भुज के आयतन की समानता के रूप में दो समानांतर चतुर्भुजों के आयतन के योग के रूप में की जा सकती है।

माना तीन समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई एच = जेड :

जेड 3 = एक्स 2 जेड + वाई 2 जेड (4)

घन का आयतन दो समानांतर चतुर्भुजों के दो खंडों में विघटित होता है। हम घन के आयतन को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और पहले समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई को कम कर देते हैं एक्स और दूसरे समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई कम कर दी जाएगी आप . एक घन का आयतन दो घनों के आयतनों के योग से अधिक होता है:

जेड 3> एक्स 3 + वाई 3 (5)

पाइथागोरस संख्याओं के त्रिगुणों के समुच्चय पर ( एक्स, वाई, जेड ) पर एन = 3 समीकरण (2) का कोई हल नहीं हो सकता। नतीजतन, पाइथागोरस संख्याओं के सभी त्रिगुणों के सेट पर, एक घन को दो घनों में विघटित करना असंभव है।

मान लीजिए समीकरण (3) में तीन समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई है एच = z2 :

जेड 2 जेड 2 = एक्स 2 जेड 2 + वाई 2 जेड 2 (6)

एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन दो समानांतर चतुर्भुजों के आयतन के योग में विघटित हो जाता है।
हम समीकरण (6) के बाईं ओर अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। इसके दाहिनी ओर ऊँचाई z2 कम करना एक्स पहले कार्यकाल में और अप करने के लिए दो पर दूसरे कार्यकाल में।

समीकरण (6) असमानता में बदल गया:

एक समानांतर चतुर्भुज का आयतन दो समानांतर चतुर्भुजों के दो खंडों में विघटित होता है।

हम समीकरण (8) के बाईं ओर अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।
ऊंचाई के दाईं ओर जेडएन-2 कम करना xn-2 पहले कार्यकाल में और कम करें वाई एन-2 दूसरे कार्यकाल में। समीकरण (8) असमानता में बदल जाता है:

जेड एन> एक्स एन + वाई एन

(9)

पाइथागोरस संख्याओं के त्रिगुणों के समुच्चय पर समीकरण (2) का एक भी हल नहीं हो सकता।

नतीजतन, सभी के लिए पाइथागोरस संख्याओं के सभी त्रिगुणों के सेट पर एन > 2 समीकरण (2) का कोई हल नहीं है।

"चमत्कारी प्रमाण के बाद" प्राप्त किया, लेकिन केवल तीन गुना के लिए पाइथागोरस संख्या. ये है सबूतों के अभाव मेंऔर पी। फ़र्मेट के उससे इनकार करने का कारण।

बी)आइए हम सिद्ध करें कि गैर-पायथागॉरियन संख्याओं के त्रिगुणों के समुच्चय पर समीकरण (2) का कोई हल नहीं है, जो कि पाइथागोरस संख्याओं के मनमाने ढंग से लिए गए ट्रिपल का परिवार है z=13, x=12, y=5 और धनात्मक पूर्णांकों के एक मनमाना ट्रिपल का परिवार z=21, x=19, y=16

संख्याओं के दोनों त्रिक उनके परिवार के सदस्य हैं:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

परिवार के सदस्यों की संख्या (10) और (11), 13 बटा 12 और 21 बटा 20 के आधे गुणनफल के बराबर है, यानी 78 और 210.

परिवार के प्रत्येक सदस्य (10) में शामिल हैं जेड = 13 और चर एक्स तथा पर 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

परिवार के प्रत्येक सदस्य (11) में शामिल हैं जेड = 21 और चर एक्स तथा पर , जो पूर्णांक मान लेते हैं 21> एक्स> 0 , 21> वाई> 0 . चर क्रमिक रूप से घटते हैं 1 .

अनुक्रम (10) और (11) की संख्याओं के त्रिगुणों को तीसरी डिग्री की असमानताओं के अनुक्रम के रूप में दर्शाया जा सकता है:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

और चौथी डिग्री की असमानताओं के रूप में:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

संख्याओं को तीसरी और चौथी शक्तियों तक बढ़ाकर प्रत्येक असमानता की शुद्धता को सत्यापित किया जाता है।

एक बड़ी संख्या के घन को छोटी संख्या के दो घनों में विघटित नहीं किया जा सकता है। यह दो छोटी संख्याओं के घनों के योग से या तो कम या अधिक होता है।

बड़ी संख्या के द्वि-वर्ग को छोटी संख्याओं के दो द्वि-वर्गों में विघटित नहीं किया जा सकता है। यह छोटी संख्याओं के द्वि-वर्गों के योग से या तो कम या अधिक होता है।

जैसे-जैसे घातांक बढ़ता है, सबसे बाईं ओर की असमानता को छोड़कर सभी असमानताओं का एक ही अर्थ होता है:

असमानताएं, उन सभी का एक ही अर्थ है: बड़ी संख्या की डिग्री एक ही घातांक वाली छोटी दो संख्याओं की डिग्री के योग से अधिक होती है:

	13एन > 12एन + 12एन; 13एन> 12एन + 11एन;…; 13एन > 7एन + 4एन;…; 13एन > 1एन + 1एन	(12)
	21एन > 20एन + 20एन; 21एन > 20एन + 19एन;…; ;…; 21एन > 1एन + 1एन	(13)

अनुक्रमों का सबसे बायां पद (12) (13) सबसे कमजोर असमानता है। इसकी शुद्धता अनुक्रम की सभी बाद की असमानताओं की शुद्धता को निर्धारित करती है (12) के लिए एन > 8 और अनुक्रम (13) के लिए एन > 14 .

उनमें समानता नहीं हो सकती। सकारात्मक पूर्णांकों (21,19,16) का एक मनमाना ट्रिपल फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण (2) का समाधान नहीं है। यदि धनात्मक पूर्णांकों का एक मनमाना त्रिगुण समीकरण का हल नहीं है, तो सकारात्मक पूर्णांकों के समुच्चय पर समीकरण का कोई हल नहीं है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

से)डायोफैंटस समस्या पर फ़र्मेट की टिप्पणी में कहा गया है कि विघटित होना असंभव है " सामान्य तौर पर, वर्ग से बड़ी कोई शक्ति नहीं, एक ही घातांक वाली दो शक्तियाँ».

चुम्बनेएक वर्ग से बड़ी शक्ति को वास्तव में एक ही प्रतिपादक के साथ दो शक्तियों में विघटित नहीं किया जा सकता है। मैं चुंबन नहीं करतावर्ग से बड़ी शक्ति को एक ही घातांक वाली दो घातों में विघटित किया जा सकता है।

धनात्मक पूर्णांकों का कोई भी यादृच्छिक रूप से चुना गया ट्रिपल (जेड, एक्स, वाई) एक परिवार से संबंधित हो सकता है, जिसके प्रत्येक सदस्य में एक स्थिर संख्या होती है जेड और दो संख्याएं . से कम जेड . परिवार के प्रत्येक सदस्य को असमानता के रूप में दर्शाया जा सकता है, और सभी परिणामी असमानताओं को असमानताओं के अनुक्रम के रूप में दर्शाया जा सकता है:

जेड एन< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1एन + 1एन

(14)

असमानताओं का क्रम (14) उन असमानताओं से शुरू होता है जिनका बायाँ भाग दाएँ पक्ष से छोटा होता है और उन असमानताओं पर समाप्त होता है जिनका दायाँ भाग बाएँ पक्ष से छोटा होता है। बढ़ते घातांक के साथ एन > 2 अनुक्रम के दाईं ओर असमानताओं की संख्या (14) बढ़ जाती है। एक घातांक के साथ एन = के अनुक्रम के बाईं ओर की सभी असमानताएँ अपना अर्थ बदल देती हैं और अनुक्रम की असमानताओं के दाईं ओर की असमानताओं का अर्थ लेती हैं (14)। सभी असमानताओं के प्रतिपादक में वृद्धि के परिणामस्वरूप, बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष से बड़ा है:

z k > (z-1) k + (z-1) k ; z k > (z-1) k + (z-2) k ;…; zk> 2k + 1k; zk > 1k + 1k

(15)

प्रतिपादक में और वृद्धि के साथ एन>के कोई भी असमानता अपना अर्थ नहीं बदलती और न ही समानता में बदल जाती है। इस आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि किसी भी मनमाने ढंग से सकारात्मक पूर्णांकों का तीन गुना लिया जाता है (जेड, एक्स, वाई) पर एन > 2 , जेड > एक्स , जेड > वाई

धनात्मक पूर्णांकों के एक मनमाना त्रिक में जेड एक मनमाने ढंग से बड़ी प्राकृतिक संख्या हो सकती है। सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए से अधिक नहीं जेड , Fermat का अंतिम प्रमेय सिद्ध होता है।

डी)संख्या कितनी भी बड़ी क्यों न हो जेड , संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला में इसके पहले पूर्णांकों का एक बड़ा लेकिन परिमित सेट होता है, और इसके बाद पूर्णांकों का एक अनंत सेट होता है।

आइए हम सिद्ध करें कि प्राकृत संख्याओं का संपूर्ण अनंत समुच्चय . से बड़ा है जेड , संख्याओं के त्रिक बनाते हैं जो फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण के समाधान नहीं हैं, उदाहरण के लिए, सकारात्मक पूर्णांकों का एक मनमाना ट्रिपल (जेड+1,एक्स,वाई) , जिसमें जेड + 1 > एक्स तथा जेड + 1 > वाई घातांक के सभी मूल्यों के लिए एन > 2 फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का हल नहीं है।

धनात्मक पूर्णांकों का एक यादृच्छिक रूप से चुना गया ट्रिपल (जेड + 1, एक्स, वाई) ट्रिपल संख्याओं के परिवार से संबंधित हो सकता है, जिनमें से प्रत्येक सदस्य में एक स्थिर संख्या होती है जेड + 1 और दो नंबर एक्स तथा पर , भिन्न मान लेते हुए, छोटा जेड + 1 . परिवार के सदस्यों को उन असमानताओं के रूप में दर्शाया जा सकता है जिनका निरंतर बायाँ भाग दाएँ पक्ष से कम या अधिक है। असमानताओं के क्रम में असमानताओं को व्यवस्थित किया जा सकता है:

प्रतिपादक में और वृद्धि के साथ एन>के अनंत तक, अनुक्रम (17) में से कोई भी असमानता इसका अर्थ नहीं बदलती है और समानता नहीं बनती है। क्रम (16) में, धनात्मक पूर्णांकों के मनमाने ढंग से लिए गए ट्रिपल से बनने वाली असमानता (जेड + 1, एक्स, वाई) , फॉर्म में इसके दाहिने तरफ हो सकता है (जेड + 1) एन> एक्स एन + वाई एन या फ़ॉर्म में इसके बाईं ओर हो (जेड+1)एन< x n + y n .

किसी भी स्थिति में, धनात्मक पूर्णांकों का त्रिक (जेड + 1, एक्स, वाई) पर एन > 2 , जेड + 1 > एक्स , जेड + 1 > वाई क्रम में (16) एक असमानता है और यह एक समानता नहीं हो सकती है, अर्थात, यह फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का समाधान नहीं हो सकता है।

शक्ति असमानताओं (16) के अनुक्रम की उत्पत्ति को समझना आसान और सरल है, जिसमें बाईं ओर की अंतिम असमानता और दाईं ओर की पहली असमानता विपरीत अर्थ की असमानताएं हैं। इसके विपरीत, स्कूली बच्चों, हाई स्कूल के छात्रों और हाई स्कूल के छात्रों के लिए यह समझना आसान और कठिन नहीं है कि असमानताओं (17) का एक क्रम असमानताओं (16) के अनुक्रम से कैसे बनता है, जिसमें सभी असमानताओं का एक ही अर्थ होता है।

अनुक्रम (16) में, असमानताओं की पूर्णांक डिग्री को 1 से बढ़ाने से बाईं ओर की अंतिम असमानता दाईं ओर विपरीत अर्थ की पहली असमानता में बदल जाती है। इस प्रकार, अनुक्रम के नौवें पक्ष पर असमानताओं की संख्या कम हो जाती है, जबकि दाईं ओर असमानताओं की संख्या बढ़ जाती है। विपरीत अर्थ की अंतिम और पहली शक्ति असमानताओं के बीच, बिना असफलता के एक शक्ति समानता है। इसकी घात पूर्णांक नहीं हो सकती, क्योंकि दो क्रमागत प्राकृत संख्याओं के बीच केवल गैर-पूर्णांक संख्याएँ होती हैं। एक गैर-पूर्णांक डिग्री की शक्ति समानता, प्रमेय की स्थिति के अनुसार, समीकरण (1) का समाधान नहीं माना जा सकता है।

यदि क्रम (16) में हम डिग्री को 1 इकाई बढ़ाते रहें, तो इसके बाईं ओर की अंतिम असमानता दाईं ओर के विपरीत अर्थ की पहली असमानता में बदल जाएगी। नतीजतन, बाईं ओर कोई असमानता नहीं होगी और केवल दाईं ओर असमानताएं होंगी, जो कि बढ़ती हुई शक्ति असमानताओं का एक क्रम होगा (17)। उनकी पूर्णांक डिग्री में 1 इकाई की और वृद्धि केवल इसकी शक्ति असमानताओं को मजबूत करती है और एक पूर्णांक डिग्री में समानता की संभावना को स्पष्ट रूप से बाहर करती है।

इसलिए, सामान्य तौर पर, शक्ति असमानताओं (17) के अनुक्रम की प्राकृतिक संख्या (z+1) की कोई भी पूर्णांक शक्ति एक ही घातांक के साथ दो पूर्णांक शक्तियों में विघटित नहीं हो सकती है। इसलिए, प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट पर समीकरण (1) का कोई समाधान नहीं है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

इसलिए, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सभी व्यापकता में सिद्ध होता है:

• सेक्शन ए में) सभी ट्रिपल के लिए (जेड, एक्स, वाई) पाइथागोरस संख्याएं (फर्मेट की खोज वास्तव में चमत्कारी प्रमाण है),
• खंड सी में) किसी भी ट्रिपल के परिवार के सभी सदस्यों के लिए (जेड, एक्स, वाई) पाइथागोरस संख्याएं,
• अनुभाग सी में) संख्याओं के सभी त्रिगुणों के लिए (जेड, एक्स, वाई) , बड़ी संख्या नहीं जेड
• खंड डी में) संख्याओं के सभी त्रिगुणों के लिए (जेड, एक्स, वाई) संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला।

05.09.2010 को परिवर्तन किए गए थे

कौन से प्रमेय विरोधाभास से सिद्ध हो सकते हैं और कौन से नहीं

गणितीय शब्दों का व्याख्यात्मक शब्दकोश व्युत्क्रम प्रमेय के विपरीत एक प्रमेय के विरोधाभास द्वारा प्रमाण को परिभाषित करता है।

"विरोधाभास द्वारा प्रमाण एक प्रमेय (वाक्य) को सिद्ध करने की एक विधि है, जिसमें स्वयं प्रमेय नहीं, बल्कि इसके समकक्ष (समकक्ष), विपरीत प्रतिलोम (विपरीत से विपरीत) प्रमेय को सिद्ध करना शामिल है। जब भी प्रत्यक्ष प्रमेय को सिद्ध करना कठिन होता है, तो विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग किया जाता है, लेकिन विपरीत प्रतिलोम आसान होता है। विरोधाभास से सिद्ध होने पर, प्रमेय के निष्कर्ष को उसके निषेध से बदल दिया जाता है, और तर्क से कोई भी शर्त के निषेध पर पहुंच जाता है, अर्थात। एक विरोधाभास के लिए, इसके विपरीत (जो दिया गया है उसके विपरीत; गैरबराबरी में यह कमी प्रमेय को सिद्ध करती है।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग अक्सर गणित में किया जाता है। विरोधाभास द्वारा प्रमाण अपवर्जित मध्य के कानून पर आधारित है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि दो कथनों (कथनों) A और A (A का निषेध) में से एक सत्य है और दूसरा असत्य है।/ गणितीय शब्दों का व्याख्यात्मक शब्दकोश: शिक्षकों के लिए एक गाइड / ओ। वी। मंटुरोव [और अन्य]; ईडी। वी.ए. डिटकिना.- एम.: एनलाइटेनमेंट, 1965.- 539 पी.: बीमार.-सी.112/.

यह खुले तौर पर घोषित करना बेहतर नहीं होगा कि विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि गणितीय विधि नहीं है, हालांकि इसका उपयोग गणित में किया जाता है, कि यह एक तार्किक विधि है और तर्क से संबंधित है। क्या यह कहना वैध है कि विरोधाभास द्वारा प्रमाण "जब भी प्रत्यक्ष प्रमेय को साबित करना मुश्किल होता है" का उपयोग किया जाता है, जब वास्तव में इसका उपयोग किया जाता है, और केवल तभी, इसके लिए कोई विकल्प नहीं होता है।

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों के बीच संबंध की विशेषता भी विशेष ध्यान देने योग्य है। "किसी दिए गए प्रमेय (या किसी दिए गए प्रमेय के लिए) के लिए एक उलटा प्रमेय एक प्रमेय है जिसमें शर्त निष्कर्ष है, और निष्कर्ष दिए गए प्रमेय की शर्त है। विलोम प्रमेय के संबंध में इस प्रमेय को प्रत्यक्ष प्रमेय (प्रारंभिक) कहा जाता है। साथ ही, विलोम प्रमेय का विलोम प्रमेय दिया गया प्रमेय होगा; इसलिए, प्रत्यक्ष और प्रतिलोम प्रमेय परस्पर प्रतिलोम कहलाते हैं। यदि प्रत्यक्ष (दिया गया) प्रमेय सत्य है, तो विलोम प्रमेय हमेशा सत्य नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि एक चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है, तो उसके विकर्ण परस्पर लंबवत (प्रत्यक्ष प्रमेय) होते हैं। यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है - यह सत्य नहीं है, अर्थात विलोम प्रमेय सत्य नहीं है।/ गणितीय शब्दों का व्याख्यात्मक शब्दकोश: शिक्षकों के लिए एक गाइड / ओ। वी। मंटुरोव [और अन्य]; ईडी। वी। ए। डिटकिना।- एम।: ज्ञानोदय, 1965.- 539 पी .: बीमार।-सी। 261 /।

प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों के बीच संबंध का यह लक्षण वर्णन इस तथ्य को ध्यान में नहीं रखता है कि प्रत्यक्ष प्रमेय की स्थिति को बिना प्रमाण के दिया जाता है, ताकि इसकी शुद्धता की गारंटी न हो। व्युत्क्रम प्रमेय की स्थिति को दी गई के रूप में नहीं लिया जाता है, क्योंकि यह सिद्ध प्रत्यक्ष प्रमेय का निष्कर्ष है। प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण से इसकी सत्यता की पुष्टि होती है। प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेय की शर्तों के बीच यह आवश्यक तार्किक अंतर इस प्रश्न में निर्णायक साबित होता है कि कौन से प्रमेय विपरीत से तार्किक विधि द्वारा सिद्ध नहीं किए जा सकते हैं।

आइए मान लें कि मन में एक प्रत्यक्ष प्रमेय है, जिसे सामान्य गणितीय विधि द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, लेकिन यह कठिन है। हम इसे सामान्य रूप में संक्षिप्त रूप में निम्नानुसार बनाते हैं: से लेकिनचाहिए इ . चिन्ह, प्रतीक लेकिन प्रमेय की दी गई शर्त का मान है, जिसे बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है। चिन्ह, प्रतीक इ सिद्ध किए जाने वाले प्रमेय का निष्कर्ष है।

हम प्रत्यक्ष प्रमेय को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करेंगे, तार्किकतरीका। तार्किक विधि एक प्रमेय को सिद्ध करती है जिसमें गणितीय नहींहालत, और तार्किकस्थि‍ति। यह प्राप्त किया जा सकता है यदि प्रमेय की गणितीय स्थिति से लेकिनचाहिए इ , विपरीत स्थिति के साथ पूरक से लेकिनयह पालन नहीं करता है इ .

नतीजतन, नए प्रमेय की एक तार्किक विरोधाभासी स्थिति प्राप्त हुई, जिसमें दो भाग शामिल हैं: से लेकिनचाहिए इ तथा से लेकिनयह पालन नहीं करता है इ . नए प्रमेय की परिणामी स्थिति बहिष्कृत मध्य के तार्किक नियम से मेल खाती है और विरोधाभास द्वारा प्रमेय के प्रमाण से मेल खाती है।

कानून के अनुसार, विरोधाभासी स्थिति का एक हिस्सा झूठा है, दूसरा हिस्सा सच है, और तीसरे को बाहर रखा गया है। विरोधाभास द्वारा प्रमाण का अपना कार्य और लक्ष्य है कि प्रमेय की स्थिति के दो भागों में से कौन सा भाग गलत है। जैसे ही शर्त का झूठा हिस्सा निर्धारित किया जाता है, यह स्थापित किया जाएगा कि दूसरा हिस्सा सही हिस्सा है, और तीसरे को बाहर रखा गया है।

गणितीय शब्दों के व्याख्यात्मक शब्दकोश के अनुसार, "सबूत तर्क है, जिसके दौरान किसी भी कथन (निर्णय, कथन, प्रमेय) की सच्चाई या असत्यता स्थापित होती है". सबूत विरोधएक चर्चा है जिसके दौरान इसे स्थापित किया गया है असत्यता(बेतुकापन) निष्कर्ष का जो इस प्रकार है असत्यप्रमेय की शर्तों को सिद्ध किया जा रहा है।

दिया गया: से लेकिनचाहिए इऔर यहां ये लेकिनयह पालन नहीं करता है इ .

सिद्ध करना: से लेकिनचाहिए इ .

सबूत: प्रमेय की तार्किक स्थिति में एक विरोधाभास होता है जिसके समाधान की आवश्यकता होती है। शर्त के अंतर्विरोध को इसका समाधान प्रमाण और उसके परिणाम में खोजना होगा। यदि तर्क निर्दोष और अचूक हो तो परिणाम असत्य हो जाता है। तार्किक रूप से सही तर्क के साथ गलत निष्कर्ष का कारण केवल एक विरोधाभासी स्थिति हो सकती है: से लेकिनचाहिए इ तथा से लेकिनयह पालन नहीं करता है इ .

इसमें संदेह की कोई छाया नहीं है कि स्थिति का एक हिस्सा झूठा है, और दूसरा इस मामले में सच है। स्थिति के दोनों भागों की उत्पत्ति समान है, जैसा दिया गया है, मान लिया गया है, समान रूप से संभव है, समान रूप से स्वीकार्य है, आदि। तार्किक तर्क के दौरान, एक भी तार्किक विशेषता नहीं पाई गई है जो स्थिति के एक हिस्से को स्थिति से अलग करती है। अन्य। इसलिए, उसी हद तक, से लेकिनचाहिए इ और शायद से लेकिनयह पालन नहीं करता है इ . कथन से लेकिनचाहिए इ शायद असत्य, फिर बयान से लेकिनयह पालन नहीं करता है इ सच होगा। कथन से लेकिनयह पालन नहीं करता है इ गलत हो सकता है, तो बयान से लेकिनचाहिए इ सच होगा।

इसलिए, प्रत्यक्ष प्रमेय को विरोधाभास विधि द्वारा सिद्ध करना असंभव है।

अब हम उसी प्रत्यक्ष प्रमेय को सामान्य गणितीय विधि से सिद्ध करेंगे।

दिया गया: लेकिन .

सिद्ध करना: से लेकिनचाहिए इ .

सबूत।

1. से लेकिनचाहिए बी

2. से बीचाहिए पर (पहले सिद्ध प्रमेय के अनुसार))।

3. से परचाहिए जी (पहले सिद्ध प्रमेय के अनुसार)।

4. से जीचाहिए डी (पहले सिद्ध प्रमेय के अनुसार)।

5. से डीचाहिए इ (पहले सिद्ध प्रमेय के अनुसार)।

पारगमन के नियम के आधार पर, से लेकिनचाहिए इ . प्रत्यक्ष प्रमेय सामान्य विधि से सिद्ध होता है।

माना कि सिद्ध प्रत्यक्ष प्रमेय में एक सही विलोम प्रमेय है: से इचाहिए लेकिन .

आइए इसे सामान्य से साबित करें गणितीयतरीका। प्रतिलोम प्रमेय के प्रमाण को गणितीय संक्रियाओं के एल्गोरिथम के रूप में प्रतीकात्मक रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

दिया गया: इ

सिद्ध करना: से इचाहिए लेकिन .

सबूत।

1. से इचाहिए डी

2. से डीचाहिए जी (पहले सिद्ध प्रतिलोम प्रमेय द्वारा)।

3. से जीचाहिए पर (पहले सिद्ध प्रतिलोम प्रमेय द्वारा)।

4. से परयह पालन नहीं करता है बी (इसका उलट सत्य नहीं है)। इसीलिए से बीयह पालन नहीं करता है लेकिन .

इस स्थिति में, व्युत्क्रम प्रमेय के गणितीय प्रमाण को जारी रखने का कोई मतलब नहीं है। स्थिति का कारण तार्किक है। गलत व्युत्क्रम प्रमेय को किसी भी चीज़ से बदलना असंभव है। इसलिए, इस व्युत्क्रम प्रमेय को सामान्य गणितीय विधि द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है। सारी आशा इस प्रतिलोम प्रमेय को विरोधाभास से सिद्ध करने की है।

इसे विरोधाभास से साबित करने के लिए, इसकी गणितीय स्थिति को एक तार्किक विरोधाभासी स्थिति से बदलना आवश्यक है, जिसके अर्थ में दो भाग होते हैं - असत्य और सत्य।

उलटा प्रमेयदावे: से इयह पालन नहीं करता है लेकिन . उसकी हालत इ , जिससे निष्कर्ष निकलता है लेकिन , सामान्य गणितीय विधि द्वारा प्रत्यक्ष प्रमेय को सिद्ध करने का परिणाम है। इस शर्त को बनाए रखा जाना चाहिए और बयान के साथ पूरक होना चाहिए से इचाहिए लेकिन . जोड़ के परिणामस्वरूप, नए व्युत्क्रम प्रमेय की एक विरोधाभासी स्थिति प्राप्त होती है: से इचाहिए लेकिन तथा से इयह पालन नहीं करता है लेकिन . इस पर आधारित तर्क मेंविरोधाभासी स्थिति, विलोम प्रमेय को सही द्वारा सिद्ध किया जा सकता है तार्किककेवल तर्क, और केवल, तार्किकविपरीत विधि। विरोधाभास के प्रमाण में, कोई भी गणितीय क्रिया और संचालन तार्किक लोगों के अधीन होते हैं और इसलिए उनकी गिनती नहीं होती है।

विरोधाभासी बयान के पहले भाग में से इचाहिए लेकिन स्थि‍ति इ प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण द्वारा सिद्ध किया गया था। दूसरे भाग में से इयह पालन नहीं करता है लेकिन स्थि‍ति इ बिना प्रमाण के मान लिया गया और स्वीकार कर लिया गया। उनमें से एक झूठा है और दूसरा सच है। यह साबित करना आवश्यक है कि उनमें से कौन सा झूठा है।

हम सही साबित करते हैं तार्किकतर्क करते हैं और पाते हैं कि इसका परिणाम एक गलत, बेतुका निष्कर्ष है। झूठे तार्किक निष्कर्ष का कारण प्रमेय की विरोधाभासी तार्किक स्थिति है, जिसमें दो भाग होते हैं - असत्य और सत्य। झूठा हिस्सा केवल एक बयान हो सकता है से इयह पालन नहीं करता है लेकिन , जिसमें इ बिना प्रमाण के स्वीकार कर लिया। यही इसे इससे अलग करता है इ बयान से इचाहिए लेकिन , जो प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण से सिद्ध होता है।

इसलिए, कथन सत्य है: से इचाहिए लेकिन , जिसे साबित करना था।

निष्कर्ष: केवल वही विलोम प्रमेय तार्किक विधि द्वारा इसके विपरीत सिद्ध होता है, जिसमें गणितीय विधि द्वारा प्रत्यक्ष प्रमेय सिद्ध होता है और जिसे गणितीय विधि द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

प्राप्त निष्कर्ष फ़र्मेट के महान प्रमेय के विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि के संबंध में एक असाधारण महत्व प्राप्त करता है। इसे सिद्ध करने के अधिकांश प्रयास सामान्य गणितीय पद्धति पर नहीं, बल्कि विरोधाभास द्वारा सिद्ध करने की तार्किक पद्धति पर आधारित होते हैं। फ़र्मेट विल्स के महान प्रमेय का प्रमाण कोई अपवाद नहीं है।

दिमित्री अब्रोव ने अपने लेख "फर्मेट्स थ्योरम: द फेनोमेनन ऑफ विल्स प्रूफ्स" में विल्स द्वारा फर्मेट के लास्ट थ्योरम के प्रमाण पर एक टिप्पणी प्रकाशित की। अबरारोव के अनुसार, जर्मन गणितज्ञ गेरहार्ड फ्रे (बी। 1944) द्वारा फर्मेट के समीकरण के संभावित समाधान से संबंधित एक उल्लेखनीय खोज की मदद से विल्स ने फर्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध किया। एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 , एक और पूरी तरह से अलग समीकरण के साथ। यह नया समीकरण एक विशेष वक्र द्वारा दिया गया है (जिसे फ्रे अण्डाकार वक्र कहा जाता है)। फ्रे वक्र एक बहुत ही सरल समीकरण द्वारा दिया गया है:
.

"यह ठीक फ्रे था जिसने हर समाधान की तुलना की" (ए, बी, सी)फ़र्मेट का समीकरण, अर्थात् संबंध को संतुष्ट करने वाली संख्याएँ ए एन + बी एन = सी एनउपरोक्त वक्र। इस मामले में, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय अनुसरण करेगा।"(उद्धरण: अबरारोव डी। "फर्मेट का प्रमेय: विल्स सबूत की घटना")

दूसरे शब्दों में, गेरहार्ड फ्रे ने सुझाव दिया कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 , सकारात्मक पूर्णांकों में समाधान है। वही समाधान हैं, फ्रे की धारणा के अनुसार, उनके समीकरण के समाधान
वाई 2 + एक्स (एक्स - ए एन) (वाई + बी एन) = 0 , जो इसके अण्डाकार वक्र द्वारा दिया गया है।

एंड्रयू विल्स ने फ्रे की इस उल्लेखनीय खोज को स्वीकार किया और इसकी मदद से गणितीयविधि ने साबित कर दिया कि यह खोज, यानी फ्रे का अण्डाकार वक्र मौजूद नहीं है। इसलिए, ऐसा कोई समीकरण और उसका समाधान नहीं है जो एक गैर-मौजूद अण्डाकार वक्र द्वारा दिया गया हो। इसलिए, विल्स को यह निष्कर्ष निकालना चाहिए था कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय और फ़र्मेट के प्रमेय का कोई समीकरण नहीं है। हालांकि, वह अधिक विनम्र निष्कर्ष लेता है कि फर्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का सकारात्मक पूर्णांक में कोई समाधान नहीं है।

यह एक निर्विवाद तथ्य हो सकता है कि विल्स ने एक धारणा को स्वीकार किया जो कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय द्वारा बताए गए अर्थ से सीधे विपरीत है। यह विल्स को फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को विरोधाभास से साबित करने के लिए बाध्य करता है। आइए उसके उदाहरण का अनुसरण करें और देखें कि इस उदाहरण से क्या होता है।

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय में कहा गया है कि समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 , धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण की तार्किक विधि के अनुसार, इस कथन को संरक्षित किया जाता है, बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है, और फिर अर्थ में विपरीत कथन के साथ पूरक किया जाता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 , सकारात्मक पूर्णांकों में समाधान है।

परिकल्पित कथन को भी बिना प्रमाण के स्वीकार किया जाता है। तर्क के मूल नियमों की दृष्टि से माने जाने वाले दोनों कथन समान रूप से स्वीकार्य, अधिकारों में समान और समान रूप से संभव हैं। सही तर्क द्वारा, यह स्थापित करना आवश्यक है कि उनमें से कौन सा झूठा है, ताकि यह स्थापित किया जा सके कि दूसरा कथन सत्य है।

सही तर्क एक झूठे, बेतुके निष्कर्ष के साथ समाप्त होता है, जिसका तार्किक कारण केवल प्रमेय के सिद्ध होने की एक विरोधाभासी स्थिति हो सकती है, जिसमें सीधे विपरीत अर्थ के दो भाग होते हैं। वे बेतुके निष्कर्ष के तार्किक कारण थे, विरोधाभास द्वारा प्रमाण का परिणाम।

हालांकि, तार्किक रूप से सही तर्क के दौरान, एक भी संकेत नहीं मिला, जिससे यह स्थापित करना संभव हो सके कि कौन सा विशेष कथन गलत है। यह एक कथन हो सकता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 , का हल धनात्मक पूर्णांकों में है। उसी आधार पर, यह कथन हो सकता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 , धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

तर्क के परिणामस्वरूप, केवल एक ही निष्कर्ष हो सकता है: फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय विरोधाभास द्वारा सिद्ध नहीं किया जा सकता है.

यह बहुत अलग बात होगी यदि फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय एक व्युत्क्रम प्रमेय थी जिसमें सामान्य गणितीय विधि द्वारा सिद्ध एक प्रत्यक्ष प्रमेय होता है। इस मामले में, यह विरोधाभास द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। और चूंकि यह एक प्रत्यक्ष प्रमेय है, इसका प्रमाण विरोधाभास द्वारा प्रमाण की तार्किक पद्धति पर नहीं, बल्कि सामान्य गणितीय पद्धति पर आधारित होना चाहिए।

डी. अबरारोव के अनुसार, सबसे प्रसिद्ध समकालीन रूसी गणितज्ञ, शिक्षाविद वी. आई. अर्नोल्ड ने विल्स के प्रमाण "सक्रिय रूप से संदेहपूर्ण" पर प्रतिक्रिया व्यक्त की। शिक्षाविद ने कहा: "यह वास्तविक गणित नहीं है - वास्तविक गणित ज्यामितीय है और इसका भौतिकी के साथ मजबूत संबंध है।"

विरोधाभास से, यह साबित करना असंभव है कि या तो फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के समीकरण का कोई समाधान नहीं है, या कि इसका समाधान है। विल्स की गलती गणितीय नहीं है, बल्कि तार्किक है - विरोधाभास द्वारा प्रमाण का उपयोग जहां इसका उपयोग समझ में नहीं आता है और फर्मेट के अंतिम प्रमेय को साबित नहीं करता है।

फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय सामान्य गणितीय विधि की सहायता से सिद्ध नहीं होती है, यदि इसे दिया जाता है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 , का धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है, और यदि इसमें सिद्ध करना आवश्यक है: समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एन , कहाँ पे एन > 2 , धनात्मक पूर्णांकों में कोई हल नहीं है। इस रूप में, एक प्रमेय नहीं है, लेकिन अर्थ से रहित एक तनातनी है।

टिप्पणी।एक मंच पर मेरे बीटीएफ सबूत पर चर्चा की गई थी। ट्रोटिल में प्रतिभागियों में से एक, संख्या सिद्धांत के विशेषज्ञ, ने निम्नलिखित आधिकारिक बयान दिया जिसका शीर्षक था: "मिरगोरोडस्की ने जो किया उसका एक संक्षिप्त विवरण।" मैं इसे शब्दशः उद्धृत करता हूं:

« लेकिन। उन्होंने सिद्ध किया कि यदि जेड 2 \u003d एक्स 2 + वाई , फिर जेड एन> एक्स एन + वाई एन . यह एक सर्वविदित और स्पष्ट तथ्य है।

पर। उन्होंने दो त्रिक - पाइथागोरस और गैर-पायथागॉरियन लिया और सरल गणना द्वारा दिखाया कि ट्रिपल (78 और 210 टुकड़े) के एक विशिष्ट, विशिष्ट परिवार के लिए बीटीएफ किया जाता है (और केवल इसके लिए)।

से। और फिर लेखक ने इस तथ्य को छोड़ दिया कि से < बाद की डिग्री में हो सकता है = , न सिर्फ़ > . एक साधारण प्रति उदाहरण संक्रमण है एन = 1 में एन = 2 पाइथागोरस ट्रिपल में।

डी। यह बिंदु बीटीएफ सबूत के लिए आवश्यक कुछ भी योगदान नहीं देता है। निष्कर्ष: बीटीएफ साबित नहीं हुआ है।

मैं उनके निष्कर्ष बिंदु पर बिंदुवार विचार करूंगा।

लेकिन।इसमें, पाइथागोरस संख्याओं के त्रिगुणों के संपूर्ण अनंत सेट के लिए BTF सिद्ध होता है। एक ज्यामितीय विधि द्वारा सिद्ध, जैसा कि मेरा मानना ​​​​है, मेरे द्वारा खोजा नहीं गया था, लेकिन फिर से खोजा गया था। और इसे खोला गया था, जैसा कि मेरा मानना ​​है, खुद पी. फ़र्मेट ने। फ़र्मेट के दिमाग में यह बात हो सकती है जब उन्होंने लिखा:

"मैंने इसका वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण खोजा है, लेकिन ये मार्जिन इसके लिए बहुत संकीर्ण हैं।" मेरी यह धारणा इस तथ्य पर आधारित है कि डायोफैंटाइन समस्या में, जिसके खिलाफ, पुस्तक के हाशिये में, फ़र्मेट ने लिखा है, हम डायोफैंटाइन समीकरण के समाधान के बारे में बात कर रहे हैं, जो पाइथागोरस संख्याओं के ट्रिपल हैं।

पाइथागोरस संख्याओं के त्रिगुणों का एक अनंत सेट डायोफेट समीकरण के समाधान हैं, और फ़र्मेट के प्रमेय में, इसके विपरीत, कोई भी समाधान फ़र्मेट के प्रमेय के समीकरण का समाधान नहीं हो सकता है। और फ़र्मेट के वास्तव में चमत्कारी प्रमाण का इस तथ्य पर सीधा प्रभाव पड़ता है। बाद में, Fermat अपने प्रमेय को सभी प्राकृत संख्याओं के समुच्चय तक बढ़ा सका। सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर, BTF "असाधारण सुंदर प्रमेयों के समुच्चय" से संबंधित नहीं है। यह मेरी धारणा है, जिसे न तो सिद्ध किया जा सकता है और न ही अस्वीकृत। इसे स्वीकार और अस्वीकार दोनों तरह से किया जा सकता है।

पर।इस पैराग्राफ में, मैं साबित करता हूं कि मनमाने ढंग से ली गई पाइथागोरस ट्रिपल संख्याओं का परिवार और मनमाने ढंग से ली गई गैर-पायथागॉरियन ट्रिपल संख्या बीटीएफ का परिवार संतुष्ट है। यह मेरे सबूत में एक आवश्यक, लेकिन अपर्याप्त और मध्यवर्ती लिंक है बीटीएफ। पाइथागोरस संख्याओं के एक तिहाई के परिवार और गैर-पायथागॉरियन संख्याओं के एक तिहाई के परिवार के उदाहरण मैंने उन विशिष्ट उदाहरणों का अर्थ लिया है जो अनुमान लगाते हैं और इसी तरह के अन्य उदाहरणों के अस्तित्व को बाहर नहीं करते हैं।

ट्रोटिल का यह कथन कि मैंने "साधारण गणना द्वारा दिखाया है कि एक विशिष्ट, निश्चित परिवार के लिए ट्रिपल (78 और 210 टुकड़े) बीटीएफ पूरा हो गया है (और केवल इसके लिए) नींव के बिना है। वह इस तथ्य का खंडन नहीं कर सकता कि मैं एक और दूसरे ट्रिपल का एक विशिष्ट परिवार प्राप्त करने के लिए पाइथागोरस और गैर-पायथागॉरियन ट्रिपल के अन्य उदाहरण भी ले सकता हूं।

मेरी राय में, समस्या को हल करने के लिए उनकी उपयुक्तता की जाँच करने के लिए मैं जो भी त्रिक की जोड़ी लेता हूँ, वह केवल "सरल गणना" की विधि द्वारा किया जा सकता है। कोई अन्य विधि मुझे ज्ञात नहीं है और इसकी आवश्यकता नहीं है। अगर उन्हें ट्रोटिल पसंद नहीं था, तो उन्हें एक और तरीका सुझाना चाहिए था, जो उन्हें नहीं लगता। बदले में कुछ भी दिए बिना, "सरल गणना" की निंदा करना गलत है, जो इस मामले में अपूरणीय है।

से।मैंने छोड़ा = बीच< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение जेड 2 \u003d एक्स 2 + वाई (1), जिसमें डिग्री एन > 2 — पूरेसकारात्मक संख्या। असमानताओं के बीच समानता से यह निम्नानुसार है अनिवार्यसमीकरण का विचार (1) डिग्री के गैर-पूर्णांक मान के साथ एन > 2 . ट्रोटिल काउंटिंग अनिवार्यअसमानताओं के बीच समानता पर विचार, वास्तव में मानता है ज़रूरीबीटीएफ सबूत में, समीकरण (1) के साथ विचार करना गैर - पूर्णांकडिग्री मूल्य एन > 2 . मैंने इसे अपने लिए किया और उस समीकरण (1) को . के साथ पाया गैर - पूर्णांकडिग्री मूल्य एन > 2 तीन संख्याओं का हल है: जेड, (जेड-1), (जेड-1) एक गैर-पूर्णांक घातांक के साथ।

FERMAT के महान प्रमेय का इतिहास
एक भव्य मामला

एक बार टोस्ट बनाने के तरीके पर मेलिंग सूची के नए साल के अंक में, मैंने आकस्मिक रूप से उल्लेख किया था कि 20 वीं शताब्दी के अंत में एक भव्य घटना थी जिसे कई लोगों ने नोटिस नहीं किया था - तथाकथित फर्मेट का अंतिम प्रमेय अंततः साबित हुआ था। इस अवसर पर, मुझे प्राप्त पत्रों में से, मुझे लड़कियों से दो प्रतिक्रियाएं मिलीं (उनमें से एक, जहां तक ​​मुझे याद है, ज़ेलेनोग्राड से नौवीं कक्षा की वीका है), जो इस तथ्य से हैरान थीं।

और मुझे आश्चर्य हुआ कि आधुनिक गणित की समस्याओं में लड़कियों की कितनी दिलचस्पी है। इसलिए, मुझे लगता है कि न केवल लड़कियां, बल्कि सभी उम्र के लड़के - हाई स्कूल के छात्रों से लेकर पेंशनभोगियों तक, भी महान प्रमेय के इतिहास को सीखने में रुचि लेंगे।

Fermat के प्रमेय का प्रमाण एक महान घटना है। और तबसे यह "महान" शब्द के साथ मजाक करने की प्रथा नहीं है, तो मुझे ऐसा लगता है कि प्रत्येक स्वाभिमानी वक्ता (और हम सभी, जब हम वक्ता कहते हैं) केवल प्रमेय के इतिहास को जानने के लिए बाध्य हैं।

अगर ऐसा हुआ कि आपको गणित उतना पसंद नहीं है जितना मुझे पसंद है, तो कुछ गहनों को सरसरी निगाह से विस्तार से देखें। यह समझते हुए कि हमारी मेलिंग सूची के सभी पाठक गणित के जंगल में भटकने में रुचि नहीं रखते हैं, मैंने कोई सूत्र नहीं देने की कोशिश की (फर्मेट के प्रमेय के समीकरण और कुछ परिकल्पनाओं को छोड़कर) और कुछ विशिष्ट मुद्दों के कवरेज को सरल बनाने के लिए जैसे जितना संभव हो सके।

फर्मेट ने दलिया कैसे बनाया

17वीं शताब्दी के फ्रांसीसी वकील और अंशकालिक महान गणितज्ञ, पियरे फ़र्मेट (1601-1665) ने संख्या सिद्धांत के क्षेत्र से एक जिज्ञासु कथन सामने रखा, जिसे बाद में फ़र्मेट्स ग्रेट (या ग्रेट) प्रमेय के रूप में जाना जाने लगा। यह सबसे प्रसिद्ध और अभूतपूर्व गणितीय प्रमेयों में से एक है। शायद, इसके चारों ओर उत्साह इतना मजबूत नहीं होता अगर अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस (तीसरी शताब्दी ईस्वी) "अरिथमेटिक" की पुस्तक में, जिसका फ़र्मेट अक्सर अध्ययन करता था, इसके व्यापक मार्जिन पर नोट्स बनाता था, और जिसे उनके बेटे सैमुअल ने कृपया भावी पीढ़ी के लिए संरक्षित किया। , महान गणितज्ञ की लगभग निम्नलिखित प्रविष्टि नहीं मिली थी:

"मेरे पास सबूत का एक बहुत ही चौंकाने वाला टुकड़ा है, लेकिन यह हाशिये में फिट होने के लिए बहुत बड़ा है।"

यह वह प्रविष्टि थी जिसने प्रमेय के चारों ओर बाद की भव्य उथल-पुथल का कारण बना।

तो, प्रसिद्ध वैज्ञानिक ने कहा कि उन्होंने अपने प्रमेय को सिद्ध कर दिया था। आइए हम अपने आप से यह प्रश्न पूछें: क्या उसने वास्तव में इसे साबित कर दिया था या वह झूठ बोल रहा था? या क्या ऐसे अन्य संस्करण हैं जो उस सीमांत प्रविष्टि की उपस्थिति की व्याख्या करते हैं जिसने अगली पीढ़ियों के कई गणितज्ञों को शांति से सोने की अनुमति नहीं दी?

महान प्रमेय का इतिहास समय के साथ एक साहसिक कार्य जितना ही आकर्षक है। फ़र्मेट ने 1636 में कहा कि फॉर्म का एक समीकरण एक्स एन + वाई एन = जेड एनघातांक n>2 के साथ पूर्णांकों में कोई हल नहीं है। यह वास्तव में Fermat का अंतिम प्रमेय है। इस प्रतीत होने वाले सरल गणितीय सूत्र में, ब्रह्मांड ने अविश्वसनीय जटिलता को छुपाया है। स्कॉटिश में जन्मे अमेरिकी गणितज्ञ एरिक टेम्पल बेल ने अपनी पुस्तक द फाइनल प्रॉब्लम (1961) में यहां तक ​​​​सुझाव दिया कि शायद फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को साबित करने से पहले मानवता का अस्तित्व समाप्त हो जाएगा।

यह कुछ अजीब है कि किसी कारण से प्रमेय अपने जन्म के साथ देर से आया था, क्योंकि स्थिति लंबे समय से अतिदेय थी, क्योंकि n = 2 के लिए इसका विशेष मामला - एक और प्रसिद्ध गणितीय सूत्र - पाइथागोरस प्रमेय, बाईस सदी पहले उत्पन्न हुआ था। फ़र्मेट के प्रमेय के विपरीत, पाइथागोरस प्रमेय में पूर्णांक समाधानों की एक अनंत संख्या होती है, उदाहरण के लिए, ऐसे पाइथागोरस त्रिभुज: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15) ,17) ... (27,36,45) ... (112,384,400) ... (4232, 7935, 8993) ...

ग्रैंड प्रमेय सिंड्रोम

किसने फर्मेट के प्रमेय को सिद्ध करने का प्रयास नहीं किया। कोई भी नवोदित छात्र महान प्रमेय को लागू करना अपना कर्तव्य समझता था, लेकिन कोई भी इसे साबित करने में सक्षम नहीं था। पहले तो इसने सौ साल तक काम नहीं किया। फिर सौ और। और आगे। गणितज्ञों के बीच एक मास सिंड्रोम विकसित होने लगा: "यह कैसा है? फ़र्मेट ने इसे साबित कर दिया, लेकिन क्या होगा अगर मैं नहीं कर सकता, या क्या?" - और उनमें से कुछ शब्द के पूर्ण अर्थों में इस आधार पर पागल हो गए।

प्रमेय का कितना भी परीक्षण किया गया हो, यह हमेशा सच निकला। मैं एक ऊर्जावान प्रोग्रामर को जानता था, जो एक तेज कंप्यूटर (उस समय अधिक सामान्यतः एक कंप्यूटर कहा जाता है) का उपयोग करके पूर्णांकों पर पुनरावृति करके इसके कम से कम एक समाधान (प्रति उदाहरण) को खोजने की कोशिश करके महान प्रमेय को खारिज करने के विचार से ग्रस्त था। वह अपने उद्यम की सफलता में विश्वास करता था और यह कहना पसंद करता था: "थोड़ा और - और एक सनसनी फैल जाएगी!" मुझे लगता है कि हमारे ग्रह के विभिन्न हिस्सों में इस तरह के साहसी साधकों की काफी संख्या थी। बेशक, उसे कोई समाधान नहीं मिला। और कोई भी कंप्यूटर, शानदार गति के साथ भी, कभी भी प्रमेय का परीक्षण नहीं कर सकता, क्योंकि इस समीकरण के सभी चर (घातांक सहित) अनंत तक बढ़ सकते हैं।

प्रमेय को प्रमाण की आवश्यकता है

गणितज्ञ जानते हैं कि यदि कोई प्रमेय सिद्ध नहीं होता है, तो कुछ भी (या तो सत्य या असत्य) उसका अनुसरण कर सकता है, जैसा कि उसने कुछ अन्य परिकल्पनाओं के साथ किया था। उदाहरण के लिए, अपने एक पत्र में, पियरे फ़र्मेट ने सुझाव दिया कि फॉर्म 2 n +1 (तथाकथित फ़र्मेट नंबर) की संख्याएँ आवश्यक रूप से अभाज्य हैं (अर्थात, उनके पास पूर्णांक भाजक नहीं हैं और केवल स्वयं और द्वारा विभाज्य हैं एक शेष के बिना), यदि n दो की शक्ति है (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, आदि)। फ़र्मेट की परिकल्पना सौ से अधिक वर्षों तक जीवित रही - जब तक लियोनहार्ड यूलर ने 1732 में यह नहीं दिखाया कि

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

फिर, लगभग 150 साल बाद (1880), फॉर्च्यून लैंड्री ने निम्नलिखित फर्मेट संख्या को फैक्टर किया:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

वे कंप्यूटर की मदद के बिना इन बड़ी संख्याओं के भाजक कैसे खोज सकते थे - भगवान ही जाने। बदले में, यूलर ने इस परिकल्पना को सामने रखा कि समीकरण x 4 + y 4 + z 4 =u 4 का पूर्णांकों में कोई हल नहीं है। हालाँकि, लगभग 250 साल बाद, 1988 में, हार्वर्ड के नाम एल्किस ने यह पता लगाने में कामयाबी हासिल की (पहले से ही एक कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करके)

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

इसलिए, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को प्रमाण की आवश्यकता थी, अन्यथा यह केवल एक परिकल्पना थी, और यह अच्छी तरह से हो सकता है कि अंतहीन संख्यात्मक क्षेत्रों में कहीं न कहीं महान प्रमेय के समीकरण का समाधान खो गया था।

18 वीं शताब्दी के सबसे गुणी और विपुल गणितज्ञ, लियोनहार्ड यूलर, जिनके अभिलेखों का संग्रह मानव जाति लगभग एक सदी से छांट रहा है, ने फर्मेट के प्रमेय को 3 और 4 की शक्तियों के लिए साबित कर दिया (या बल्कि, उन्होंने पियरे फ़र्मेट के खोए हुए प्रमाणों को दोहराया) ; संख्या सिद्धांत में उनके अनुयायी, लीजेंड्रे (और स्वतंत्र रूप से डिरिचलेट) - डिग्री 5 के लिए; लंगड़ा - डिग्री के लिए 7. लेकिन सामान्य शब्दों में, प्रमेय अप्रमाणित रहा।

1 मार्च, 1847 को, पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज की एक बैठक में, दो उत्कृष्ट गणितज्ञों - गेब्रियल लेम और ऑगस्टिन कॉची - ने घोषणा की कि वे ग्रेट थ्योरम के प्रमाण के अंत में आ गए हैं और एक दौड़ की व्यवस्था की है, उनके प्रकाशन भागों में प्रमाण। हालाँकि, उनके बीच द्वंद्व को बाधित किया गया था क्योंकि उनके प्रमाणों में वही त्रुटि खोजी गई थी, जिसे जर्मन गणितज्ञ अर्नस्ट कमर ने इंगित किया था।

20वीं शताब्दी (1908) की शुरुआत में, एक धनी जर्मन उद्यमी, परोपकारी और वैज्ञानिक पॉल वोल्फस्केल ने किसी को भी एक लाख अंक दिए, जो फ़र्मेट के प्रमेय का पूरा प्रमाण प्रस्तुत करेगा। गॉटिंगेन एकेडमी ऑफ साइंसेज द्वारा वोल्फस्केल के वसीयतनामा के प्रकाशन के पहले ही वर्ष में, यह गणित के प्रेमियों के हजारों प्रमाणों से भर गया था, और यह प्रवाह दशकों तक नहीं रुका, लेकिन, जैसा कि आप कल्पना कर सकते हैं, उन सभी में त्रुटियां थीं . वे कहते हैं कि अकादमी ने निम्नलिखित सामग्री के साथ फॉर्म तैयार किए:

प्रिय __________________________!
ऊपर से ____ पृष्ठ ____ लाइन पर Fermat के प्रमेय के आपके प्रमाण में
सूत्र में निम्नलिखित त्रुटि पाई गई:__________________________:,

जिन्हें अशुभ आवेदकों को पुरस्कार के लिए भेजा गया था।

उस समय गणितज्ञों के घेरे में एक अर्ध-घृणित उपनाम प्रकट हुआ - फर्मिस्ट. यह किसी भी आत्मविश्वासी अपस्टार्ट को दिया गया नाम था, जिसके पास ज्ञान की कमी थी, लेकिन महान प्रमेय को साबित करने के लिए जल्दबाजी में हाथ आजमाने की महत्वाकांक्षा से अधिक था, और फिर, अपनी गलतियों पर ध्यान न देते हुए, गर्व से अपनी छाती पर थप्पड़ मारते हुए, जोर से घोषणा करते हैं: "मैं फ़र्मेट का पहला प्रमेय सिद्ध हुआ! हर किसान, चाहे वह दस हजारवें नंबर का हो, खुद को सबसे पहले मानता था - यह हास्यास्पद था। ग्रेट थ्योरम की सरल उपस्थिति ने फर्मिस्टों को आसान शिकार की इतनी याद दिला दी कि वे बिल्कुल भी शर्मिंदा नहीं हुए कि यूलर और गॉस भी इसका सामना नहीं कर सके।

(फर्मिस्ट, अजीब तरह से, आज भी मौजूद हैं। हालांकि उनमें से एक को विश्वास नहीं था कि उसने एक शास्त्रीय फर्मिस्ट की तरह प्रमेय को साबित कर दिया है, लेकिन हाल ही में जब तक उसने प्रयास नहीं किए - उसने मुझ पर विश्वास करने से इनकार कर दिया जब मैंने उसे बताया कि फ़र्मेट का प्रमेय पहले से ही था सिद्ध)।

सबसे शक्तिशाली गणितज्ञों ने, शायद अपने कार्यालयों की चुप्पी में, इस असहनीय छड़ से सावधानी से संपर्क करने की कोशिश की, लेकिन इसके बारे में जोर से बात नहीं की, ताकि फर्मिस्ट के रूप में ब्रांडेड न हों और इस प्रकार, अपने उच्च अधिकार को नुकसान न पहुंचाएं।

उस समय तक, घातांक n के लिए प्रमेय का प्रमाण दिखाई दिया<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

अजीब परिकल्पना

बीसवीं शताब्दी के मध्य तक, महान प्रमेय के इतिहास में कोई बड़ी प्रगति नहीं देखी गई। लेकिन जल्द ही गणितीय जीवन में एक दिलचस्प घटना घटी। 1955 में, 28 वर्षीय जापानी गणितज्ञ युताका तानियामा ने गणित के एक पूरी तरह से अलग क्षेत्र से एक बयान को आगे बढ़ाया, जिसे तानियामा हाइपोथिसिस (उर्फ द तानियामा-शिमुरा-वील हाइपोथिसिस) कहा जाता है, जो फ़र्मेट के विलंबित प्रमेय के विपरीत, आगे था। अपने समय का।

तानियामा का अनुमान कहता है: "हर अंडाकार वक्र के लिए एक निश्चित मॉड्यूलर रूप से मेल खाता है।" उस समय के गणितज्ञों के लिए यह कथन उतना ही बेतुका लग रहा था जितना कि यह कथन हमारे लिए लगता है: "एक निश्चित धातु प्रत्येक पेड़ से मेल खाती है।" यह अनुमान लगाना आसान है कि एक सामान्य व्यक्ति इस तरह के बयान से कैसे संबंधित हो सकता है - वह इसे गंभीरता से नहीं लेगा, जो हुआ: गणितज्ञों ने सर्वसम्मति से परिकल्पना को नजरअंदाज कर दिया।

एक छोटी सी व्याख्या। लंबे समय से ज्ञात अण्डाकार वक्रों का द्वि-आयामी रूप होता है (एक समतल पर स्थित)। उन्नीसवीं शताब्दी में खोजे गए मॉड्यूलर कार्यों में चार-आयामी रूप होते हैं, इसलिए हम उन्हें अपने त्रि-आयामी दिमाग से कल्पना भी नहीं कर सकते हैं, लेकिन हम उनका गणितीय रूप से वर्णन कर सकते हैं; इसके अलावा, मॉड्यूलर रूप इस मायने में अद्भुत हैं कि उनके पास अधिकतम संभव समरूपता है - उन्हें किसी भी दिशा में अनुवाद (स्थानांतरित) किया जा सकता है, प्रतिबिंबित किया जा सकता है, टुकड़ों की अदला-बदली की जा सकती है, असीम रूप से कई तरीकों से घुमाया जा सकता है - और उनकी उपस्थिति नहीं बदलती है। जैसा कि आप देख सकते हैं, अण्डाकार वक्र और मॉड्यूलर रूपों में बहुत कम समानता है। तानियामा की परिकल्पना में कहा गया है कि एक दूसरे से संबंधित इन दो बिल्कुल अलग गणितीय वस्तुओं के वर्णनात्मक समीकरणों को एक ही गणितीय श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है।

तानियामा की परिकल्पना बहुत विरोधाभासी थी: यह पूरी तरह से अलग अवधारणाओं को जोड़ती है - बल्कि सरल सपाट वक्र और अकल्पनीय चार-आयामी आकार। ऐसा कभी किसी के साथ नहीं हुआ। जब सितंबर 1955 में टोक्यो में एक अंतरराष्ट्रीय गणितीय संगोष्ठी में, तानियामा ने अण्डाकार वक्रों और मॉड्यूलर रूपों के बीच कई पत्राचार का प्रदर्शन किया, तो सभी ने इसे एक अजीब संयोग से ज्यादा कुछ नहीं देखा। तानियामा के मामूली सवाल के लिए: क्या प्रत्येक अण्डाकार वक्र के लिए संबंधित मॉड्यूलर फ़ंक्शन को खोजना संभव है, आदरणीय फ्रांसीसी आंद्रे वेइल, जो उस समय संख्या सिद्धांत में दुनिया के सर्वश्रेष्ठ विशेषज्ञों में से एक थे, ने काफी कूटनीतिक उत्तर दिया, वे क्या कहते हैं , अगर जिज्ञासु तानियामा उत्साह नहीं छोड़ता है, तो शायद वह भाग्यशाली होगा और उसकी अविश्वसनीय परिकल्पना की पुष्टि हो जाएगी, लेकिन यह जल्द ही नहीं होना चाहिए। सामान्य तौर पर, कई अन्य उत्कृष्ट खोजों की तरह, पहले तानियामा की परिकल्पना को नजरअंदाज कर दिया गया था, क्योंकि वे अभी तक बड़े नहीं हुए थे - लगभग कोई भी इसे समझ नहीं पाया। तानियामा के केवल एक सहयोगी, गोरो शिमुरा, अपने अत्यधिक प्रतिभाशाली मित्र को अच्छी तरह से जानते हुए, सहज रूप से महसूस किया कि उनकी परिकल्पना सही थी।

तीन साल बाद (1958), युताका तानियामा ने आत्महत्या कर ली (हालांकि, जापान में समुराई परंपराएं मजबूत हैं)। सामान्य ज्ञान की दृष्टि से - एक समझ से बाहर का कार्य, खासकर जब आप समझते हैं कि बहुत जल्द उसकी शादी होने वाली थी। युवा जापानी गणितज्ञों के नेता ने अपना सुसाइड नोट इस प्रकार शुरू किया: "कल मैंने आत्महत्या के बारे में नहीं सोचा था। हाल ही में, मैंने अक्सर दूसरों से सुना कि मैं मानसिक और शारीरिक रूप से थक गया था। वास्तव में, अब भी मुझे समझ में नहीं आता कि मैं क्यों हूँ यह कर रहा है ..." और इसी तरह तीन शीट पर। यह अफ़सोस की बात है, कि यह एक दिलचस्प व्यक्ति का भाग्य था, लेकिन सभी प्रतिभाएँ थोड़ी अजीब हैं - इसलिए वे प्रतिभाशाली हैं (किसी कारण से, आर्थर शोपेनहावर के शब्द दिमाग में आए: "सामान्य जीवन में, ए जीनियस का उतना ही उपयोग होता है जितना कि एक थिएटर में टेलीस्कोप")। परिकल्पना को छोड़ दिया गया है। कोई नहीं जानता था कि इसे कैसे साबित किया जाए।

दस वर्षों तक, तानियामा की परिकल्पना का शायद ही उल्लेख किया गया था। लेकिन 70 के दशक की शुरुआत में, यह लोकप्रिय हो गया - इसे हर उस व्यक्ति द्वारा नियमित रूप से जांचा गया जो इसे समझ सकता था - और इसकी हमेशा पुष्टि की गई थी (जैसा कि, वास्तव में, फ़र्मेट की प्रमेय), लेकिन, पहले की तरह, कोई भी इसे साबित नहीं कर सका।

दो परिकल्पनाओं के बीच अद्भुत संबंध

एक और 15 साल बीत चुके हैं। 1984 में, गणित के जीवन में एक महत्वपूर्ण घटना हुई जिसने असाधारण जापानी अनुमान को फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के साथ जोड़ दिया। जर्मन गेरहार्ड फ्रे ने एक प्रमेय के समान एक जिज्ञासु कथन प्रस्तुत किया: "यदि तानियामा का अनुमान सिद्ध हो जाता है, तो, फलस्वरूप, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय सिद्ध हो जाएगा।" दूसरे शब्दों में, फ़र्मेट का प्रमेय तानियामा के अनुमान का परिणाम है। (फ्रे, सरल गणितीय परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, फ़र्मेट के समीकरण को एक अण्डाकार वक्र समीकरण के रूप में कम कर दिया (वही जो तानियामा की परिकल्पना में प्रकट होता है), कमोबेश उनकी धारणा को प्रमाणित करता है, लेकिन इसे साबित नहीं कर सका)। और सिर्फ डेढ़ साल बाद (1986), कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, केनेथ रिबेट के एक प्रोफेसर ने फ्रे के प्रमेय को स्पष्ट रूप से साबित कर दिया।

अब क्या हुआ? अब यह पता चला है कि, चूंकि फ़र्मेट का प्रमेय पहले से ही तानियामा के अनुमान का एक परिणाम है, इसलिए केवल पौराणिक फ़र्मेट के प्रमेय के विजेता की प्रशंसा को तोड़ने के लिए बाद वाले को साबित करने की आवश्यकता है। लेकिन परिकल्पना कठिन निकली। इसके अलावा, सदियों से, गणितज्ञों को फ़र्मेट के प्रमेय से एलर्जी हो गई, और उनमें से कई ने फैसला किया कि तानियामा के अनुमान का सामना करना भी लगभग असंभव होगा।

फ़र्मेट की परिकल्पना की मृत्यु। एक प्रमेय का जन्म

एक और 8 साल बीत चुके हैं। प्रिंसटन यूनिवर्सिटी (न्यू जर्सी, यूएसए) के गणित के एक प्रगतिशील अंग्रेजी प्रोफेसर, एंड्रयू विल्स ने सोचा कि उन्हें तानियामा के अनुमान का प्रमाण मिल गया है। यदि प्रतिभा गंजा नहीं है, तो, एक नियम के रूप में, अव्यवस्थित। विल्स अव्यवस्थित है, इसलिए, एक प्रतिभाशाली की तरह दिखता है। इतिहास में प्रवेश करना, निश्चित रूप से, आकर्षक और बहुत वांछनीय है, लेकिन एक वास्तविक वैज्ञानिक की तरह, विल्स ने खुद की चापलूसी नहीं की, यह महसूस करते हुए कि उनसे पहले के हजारों फर्मिस्टों ने भी भूतिया सबूत देखे थे। इसलिए, दुनिया के सामने अपना सबूत पेश करने से पहले, उन्होंने खुद को ध्यान से जांचा, लेकिन यह महसूस करते हुए कि उनके पास एक व्यक्तिपरक पूर्वाग्रह हो सकता है, उन्होंने दूसरों को भी चेक में शामिल किया, उदाहरण के लिए, सामान्य गणितीय कार्यों की आड़ में, उन्होंने कभी-कभी विभिन्न टुकड़े फेंक दिए स्मार्ट स्नातक छात्रों के लिए उनके प्रमाण का। विल्स ने बाद में स्वीकार किया कि उनकी पत्नी के अलावा कोई नहीं जानता था कि वह महान प्रमेय को साबित करने पर काम कर रहे हैं।

और इसलिए, लंबी जाँच और दर्दनाक चिंतन के बाद, विल्स ने आखिरकार साहस जुटाया, और शायद, जैसा कि उन्होंने खुद सोचा था, अहंकार, और 23 जून, 1993 को कैम्ब्रिज में संख्या सिद्धांत पर एक गणितीय सम्मेलन में, उन्होंने अपनी महान उपलब्धि की घोषणा की।

बेशक, यह एक सनसनी थी। एक अल्पज्ञात गणितज्ञ से ऐसी चपलता की किसी को उम्मीद नहीं थी। फिर प्रेस साथ आया। जलती हुई दिलचस्पी से हर कोई परेशान था। दर्शकों की उत्सुक आंखों के सामने एक सुंदर चित्र के स्ट्रोक की तरह पतले सूत्र दिखाई दिए। असली गणितज्ञ, आखिरकार, वे ऐसे ही हैं - वे सभी प्रकार के समीकरणों को देखते हैं और उनमें संख्या, स्थिरांक और चर नहीं देखते हैं, लेकिन वे संगीत सुनते हैं, जैसे मोजार्ट एक संगीत कर्मचारी को देख रहा है। जैसे जब हम कोई किताब पढ़ते हैं, तो हम अक्षरों को देखते हैं, लेकिन हम उन्हें नोटिस नहीं करते हैं, लेकिन तुरंत ही पाठ का अर्थ समझ लेते हैं।

सबूत की प्रस्तुति सफल लग रही थी - इसमें कोई त्रुटि नहीं पाई गई - किसी ने एक भी झूठा नोट नहीं सुना (हालांकि अधिकांश गणितज्ञों ने उसे पहले ग्रेडर की तरह देखा और कुछ भी नहीं समझा)। सभी ने फैसला किया कि एक बड़े पैमाने पर घटना हुई थी: तानियामा की परिकल्पना सिद्ध हुई, और फलस्वरूप फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय। लेकिन लगभग दो महीने बाद, विल्स के प्रमाण की पांडुलिपि के प्रचलन में जाने से कुछ दिन पहले, यह असंगत पाया गया (विल्स के एक सहयोगी काट्ज़ ने कहा कि तर्क का एक टुकड़ा "यूलर की प्रणाली" पर निर्भर था, लेकिन क्या विल्स द्वारा निर्मित, ऐसी प्रणाली नहीं थी), हालांकि, सामान्य तौर पर, विल्स की तकनीकों को दिलचस्प, सुरुचिपूर्ण और नवीन माना जाता था।

विल्स ने स्थिति का विश्लेषण किया और फैसला किया कि वह हार गया है। कोई कल्पना कर सकता है कि उसने अपने पूरे अस्तित्व के साथ कैसा महसूस किया, इसका क्या अर्थ है "महान से हास्यास्पद एक कदम तक।" "मैं इतिहास में प्रवेश करना चाहता था, लेकिन इसके बजाय मैं जोकरों और हास्य कलाकारों की एक टीम में शामिल हो गया - अभिमानी किसान" - लगभग इस तरह के विचारों ने उन्हें अपने जीवन के उस दर्दनाक दौर में थका दिया। उसके लिए, एक गंभीर गणितज्ञ, यह एक त्रासदी थी, और उसने अपना सबूत बैक बर्नर पर फेंक दिया।

लेकिन एक साल बाद, सितंबर 1994 में, ऑक्सफोर्ड के अपने सहयोगी टेलर के साथ मिलकर सबूत की उस अड़चन के बारे में सोचते हुए, बाद वाले को अचानक यह विचार आया कि "यूलर सिस्टम" को इवासावा सिद्धांत में बदला जा सकता है। संख्या सिद्धांत)। फिर उन्होंने "यूलर सिस्टम" के बिना इवासावा सिद्धांत का उपयोग करने की कोशिश की, और वे सभी एक साथ आए। सबूत का सही संस्करण सत्यापन के लिए प्रस्तुत किया गया था, और एक साल बाद यह घोषणा की गई कि इसमें सब कुछ बिल्कुल स्पष्ट था, बिना किसी गलती के। 1995 की गर्मियों में, प्रमुख गणितीय पत्रिकाओं में से एक में - "गणित के इतिहास" - तानियामा के अनुमान का एक पूर्ण प्रमाण (इसलिए, फ़र्मेट्स ग्रेट (लार्ज) प्रमेय) प्रकाशित हुआ, जिसने पूरे मुद्दे पर कब्जा कर लिया - एक सौ से अधिक शीट। प्रमाण इतना जटिल है कि दुनिया भर में केवल कुछ दर्जन लोग ही इसे पूरी तरह समझ सकते हैं।

इस प्रकार, 20वीं शताब्दी के अंत में, पूरी दुनिया ने माना कि अपने जीवन के 360वें वर्ष में, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय, जो वास्तव में इस समय एक परिकल्पना थी, एक सिद्ध प्रमेय बन गई थी। एंड्रयू विल्स ने फर्मेट के महान (महान) प्रमेय को साबित किया और इतिहास में प्रवेश किया।

सोचें कि आपने एक प्रमेय सिद्ध कर दिया है...

खोजकर्ता का सुख हमेशा किसी को ही जाता है - वही है जो हथौड़े के अंतिम प्रहार से ज्ञान के कठोर नट को तोड़ देता है। लेकिन कोई भी पिछले कई प्रहारों को नजरअंदाज नहीं कर सकता है जिन्होंने सदियों से ग्रेट थ्योरम में दरार पैदा की है: यूलर और गॉस (अपने समय के गणित के राजा), एवरिस्टे गैलोइस (जो अपने छोटे 21 में समूहों और क्षेत्रों के सिद्धांत को स्थापित करने में कामयाब रहे। -वर्ष का जीवन, जिनके कार्यों को उनकी मृत्यु के बाद ही शानदार माना गया), हेनरी पोंकारे (न केवल विचित्र मॉड्यूलर रूपों के संस्थापक, बल्कि पारंपरिकवाद - एक दार्शनिक प्रवृत्ति), डेविड गिल्बर्ट (बीसवीं शताब्दी के सबसे मजबूत गणितज्ञों में से एक) , युताकु तानियामा, गोरो शिमुरा, मोर्डेल, फाल्टिंग्स, अर्न्स्ट कमर, बैरी मजूर, गेरहार्ड फ्रे, केन रिबेट, रिचर्ड टेलर और अन्य वास्तविक वैज्ञानिक(मैं इन शब्दों से नहीं डरता)।

फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण को बीसवीं शताब्दी की ऐसी उपलब्धियों के बराबर रखा जा सकता है जैसे कंप्यूटर का आविष्कार, परमाणु बम और अंतरिक्ष उड़ान। यद्यपि इसके बारे में इतना व्यापक रूप से ज्ञात नहीं है, क्योंकि यह हमारे क्षणिक हितों के क्षेत्र पर आक्रमण नहीं करता है, जैसे कि टीवी सेट या बिजली का प्रकाश बल्ब, यह एक सुपरनोवा का एक फ्लैश था, जो सभी अपरिवर्तनीय सत्यों की तरह, हमेशा चमकता रहेगा। इंसानियत।

आप कह सकते हैं: "ज़रा सोचिए, आपने किसी प्रकार की प्रमेय सिद्ध कर दी है, इसकी जरूरत किसे है?"। एक उचित प्रश्न। डेविड गिल्बर्ट का उत्तर बिल्कुल यहाँ फिट होगा। जब, इस प्रश्न के लिए: "अब विज्ञान के लिए सबसे महत्वपूर्ण कार्य क्या है?", उन्होंने उत्तर दिया: "चंद्रमा के दूर की ओर एक मक्खी को पकड़ने के लिए", उनसे यथोचित रूप से पूछा गया: "लेकिन इसकी जरूरत किसे है?", उसने इस तरह उत्तर दिया:" किसी को इसकी आवश्यकता नहीं है। लेकिन इस बारे में सोचें कि इसे पूरा करने के लिए कितनी महत्वपूर्ण और कठिन समस्याओं को हल करने की आवश्यकता है। "इस बारे में सोचें कि फर्मेट के प्रमेय को सिद्ध करने से पहले मानवता 360 वर्षों में कितनी समस्याओं को हल कर पाई है। इसके प्रमाण की तलाश में, आधुनिक गणित का लगभग आधा हिस्सा की खोज की गई थी। हमें यह भी ध्यान रखना चाहिए कि गणित विज्ञान का अवांट-गार्डे है (और, वैसे, विज्ञानों में से केवल एक ही गलती के बिना बनाया गया है), और कोई भी वैज्ञानिक उपलब्धियां और आविष्कार यहां से शुरू होते हैं। " .

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और अब आइए अपनी कहानी की शुरुआत में वापस जाएं, डायोफैंटस की पाठ्यपुस्तक के हाशिये में पियरे फ़र्मेट की प्रविष्टि को याद करें और एक बार फिर खुद से पूछें: क्या फ़र्मेट ने वास्तव में अपने प्रमेय को सिद्ध किया था? बेशक, हम इसे निश्चित रूप से नहीं जान सकते हैं, और किसी भी मामले में, विभिन्न संस्करण यहां उत्पन्न होते हैं:

संस्करण 1:फ़र्मेट ने अपनी प्रमेय सिद्ध की। (प्रश्न के लिए: "क्या फ़र्मेट के पास अपने प्रमेय का बिल्कुल वैसा ही प्रमाण था?", एंड्रयू विल्स ने टिप्पणी की: "फ़र्मेट के पास नहीं हो सकता था" इसलिएसबूत। यह 20वीं सदी का प्रमाण है।'' हम समझते हैं कि 17वीं सदी में गणित, निश्चित रूप से, 20वीं सदी के अंत के समान नहीं था - उस युग में, डी, विज्ञान की रानी, ​​अर्तगान ने ऐसा नहीं किया। अभी तक उन खोजों (मॉड्यूलर रूप, तानियामा के प्रमेय, फ्रे, आदि) के अधिकारी हैं, जिसने केवल फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को साबित करना संभव बना दिया है। बेशक, कोई यह मान सकता है: क्या मज़ाक नहीं कर रहा है - क्या होगा अगर फ़र्मेट ने एक अलग तरीके से अनुमान लगाया यह संस्करण, हालांकि संभावित है, अधिकांश गणितज्ञों के अनुसार व्यावहारिक रूप से असंभव है);
संस्करण 2:पियरे डी फ़र्मेट को ऐसा लग रहा था कि उन्होंने अपने प्रमेय को सिद्ध कर दिया है, लेकिन उनके प्रमाण में त्रुटियाँ थीं। (अर्थात फ़र्मेट स्वयं भी पहले फ़र्मेटिस्ट थे);
संस्करण 3:फ़र्मेट ने अपने प्रमेय को सिद्ध नहीं किया, लेकिन केवल हाशिये में झूठ बोला।

यदि अंतिम दो संस्करणों में से एक सही है, जिसकी सबसे अधिक संभावना है, तो एक सरल निष्कर्ष निकाला जा सकता है: महान लोग, हालांकि वे महान हैं, वे गलतियाँ भी कर सकते हैं या कभी-कभी झूठ बोलने से भी गुरेज नहीं करते हैं(मूल रूप से, यह निष्कर्ष उन लोगों के लिए उपयोगी होगा जो पूरी तरह से अपनी मूर्तियों और विचारों के अन्य शासकों पर भरोसा करने के इच्छुक हैं)। इसलिए, मानव जाति के आधिकारिक पुत्रों के कार्यों को पढ़ते समय या उनके दयनीय भाषणों को सुनते समय, आपको उनके बयानों पर संदेह करने का पूरा अधिकार है। (कृपया ध्यान दें कि संदेह करना अस्वीकार करना नहीं है).

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